병점고등학교
2022년 2학년 1학기 기말고사

병점고 2학년 1학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

병점고등학교는 경기 화성시에 있습니다. 이 회차는 도함수의 활용부터 부정적분, 정적분과 그 활용을 다룹니다. 부정적분의 기본 성질에서 출발해 극값, 역함수의 존재, 운동, 넓이, 적분으로 정의된 관계까지 연결되는 구성입니다.

객관식으로만 구성되어 있지만 풀이 과정에서는 조건을 단계적으로 정리해야 합니다. 도함수의 근을 구한 뒤 부호 변화를 확인하거나, 적분식을 변형한 뒤 미분하여 함수 사이의 관계를 복원하는 문제가 있습니다. 계산 결과만 빠르게 얻는 연습으로는 이런 출발점을 잡기 어렵습니다.

특히 후반에는 함수의 식을 바로 전개하기보다 먼저 형태를 제한하는 접근이 유용합니다. 대칭성은 가능한 항을 줄이고, 구간 전체의 부등식은 부호 조건을 만들며, 움직이는 구간의 최댓값은 그래프의 높이를 비교하게 합니다. 문제마다 무엇을 먼저 그림으로 옮길지 판단하는 능력을 길러야 합니다.

난이도 분포 — 어려움 60%, 후반에 연속 배치

쉬움으로 분류된 1·2·6번은 적분상수, 삼차함수의 극값, 원뿔 부피의 최대를 확인합니다. 기본형이라도 부정적분 사이의 관계나 길이의 정의역을 놓치면 풀이가 흔들립니다. 이 구간에서 개념을 정확히 적용해 후반을 검토할 시간을 남기세요.

보통 문항은 3·4·7·10·11번입니다. 역함수와 단조성, 대칭구간 적분, 구간별 속도, 넓이와 극값을 연결합니다. 어려움 문항 사이에도 풀 수 있는 문제가 있으므로 번호순으로 난도가 계속 높아진다고 생각하지 마세요.

12~20번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 다만 같은 어려움 안에서도 15번의 구간 분할, 17번의 접선 조건처럼 접근법이 비교적 명확한 문제와 19·20번의 함수 조건 추론은 성격이 다릅니다. 분류는 학습 우선순위의 참고이며 실제 응시자의 체감 난도와 일치한다고 단정할 수 없습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용이 중심

도함수의활용은 극값 계산에 머물지 않습니다. 8번은 정리의 적용 구간, 9번은 도함수 그래프의 부호, 16번은 수평선과 그래프의 교점, 19·20번은 함수 조건을 이용한 형태 추론을 다룹니다. 미분 계산을 마친 뒤 그 결과가 원래 함수에 무엇을 뜻하는지 설명하는 연습이 필요합니다.

정적분의활용에서는 운동과 넓이가 나옵니다. 5번의 두 점 사이 거리, 7번의 원점 복귀, 13번의 이동 거리는 서로 다른 양입니다. 11·17번의 넓이에서는 교점을 찾은 뒤 위쪽 함수와 아래쪽 함수를 정해야 하므로 적분 전의 상황 해석이 중요합니다.

정적분은 대칭성을 이용한 계산부터 평행이동된 구간의 합, 변수 상한을 가진 적분식까지 확장됩니다. 부정적분은 1번에 배치되지만 적분상수를 정하는 사고는 11번에도 필요합니다. 단원을 따로 암기하기보다 미분과 적분의 연결을 복습하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인한 난도 순위가 아니라 조건 해석의 복잡성을 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 경계에서 조건이 어떻게 바뀌는지가 중요합니다. 일반적인 구간을 계산한 뒤 경계에서도 같은 결론이 성립하는지 되돌아가 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·2·6번과 접근법이 보이는 보통 문항을 먼저 확보하세요. 5번이나 8·9번에서 해석이 막히면 필요한 조건만 적고 다음 문제로 이동하는 연습이 좋습니다. 전체 시험 시간은 확인되지 않으므로 특정 분 단위보다 기본 계산, 조건 추론, 최종 검토에 쓸 시간을 나누어 연습하세요.

후반에서도 문제마다 첫 단계를 먼저 확인하세요. 15번은 구간 분할, 17번은 접점 조건, 18번은 적분식 변형이 출발점입니다. 19·20번에서 그래프나 부호 조건을 세우지 못한 채 전개만 길어지면 잠시 보류하고, 이미 구조를 잡은 문항의 계산을 마무리하는 편이 좋습니다.

최종 검토에서는 3번의 도함수가 사라지는 경계, 7번의 시각 범위, 13번의 이동 거리와 변위 구별, 16번의 접하는 교점을 확인하세요. 18번은 반복 미분 도중의 항 누락을, 19번은 부등식의 적용 구간을, 20번은 최댓값 함수가 일정하게 유지되는 부분을 다시 살피세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 미분·적분과 적분상수를 복습하세요. 함숫값 조건을 적용한 뒤 원래 조건에 다시 대입하는 습관을 들이세요(1·2·6·11번 대비).
2. 도함수의 부호표를 직접 그리세요. 역함수의 존재, 극값, 구간 전체의 부등식을 증가·감소 및 최솟값으로 연결하세요(3·9·12번 대비).
3. 롤의 정리와 평균값 정리는 적용 구간을 표시하며 연습하세요. 보조함수를 만드는 이유와 서로 다른 점의 존재를 설명해 보세요(8·14번 대비).
4. 운동에서는 위치·속도·변위·거리를 구별하세요. 방향이 바뀌는 시각과 구간별 누적량을 먼저 정리하세요(5·7·13번 대비).
5. 적분은 대칭성, 평행이동, 변수 상한의 세 유형을 연습하세요. 소거되는 항과 구간마다 달라지는 항을 구별하세요(4·10·15·18번 대비).
6. 실근과 넓이는 그래프로 확인하세요. 극값 높이에 따른 교점 수와 접선 조건을 먼저 정하고 적분 구간을 선택하세요(16·17번 대비).
7. 함수 조건 추론을 마지막에 묶어 연습하세요. 부호표와 누적 최댓값의 그림으로 조건을 설명한 뒤 식을 구성하세요(19·20번 대비).