현대청운고등학교
2025년 1학년 1학기 기말고사

현대청운고 1학년 1학기 기말 공통수학1은 어떤 시험인가

현대청운고등학교는 울산 동구에 있습니다. 출제된 단원은 순열조합, 행렬, 여러가지부등식, 이차함수, 여러가지방정식, 다항식입니다. 순열과 조합의 기본 계산부터 함수의 개수 세기, 행렬의 성질과 증명까지 폭넓게 확인하는 시험입니다.

같은 단원 안에서도 접근 방식이 달라집니다. 순열조합은 기호 계산에서 시작해 조건부 배열, 치역을 제한한 함수, 좌석 배치로 확장됩니다. 행렬 역시 직접 곱셈만으로 끝나지 않고 성분 조건을 함수로 옮기거나 복소수와 연결하는 문항이 포함됩니다.

방정식과 함수에서는 해를 구한 뒤 그 해가 어느 구간에 속하는지 확인하는 과정이 중요합니다. 절댓값을 풀며 나눈 구간, 서로 다른 실근이라는 조건, 정수인 끝점의 포함 여부가 풀이를 좌우합니다. 식의 정리와 조건 검토를 함께 연습해야 하는 구성입니다.

난이도 분포 — 초반부터 이어지는 조건 해석

쉬움은 1·2번으로, 순열·조합 기호와 행렬 연산의 기본을 확인합니다. 보통은 4·5·6·17·22번이며 행렬 거듭제곱, 공식 변형, 기호 관계, 증명 등으로 흩어져 있습니다. 앞쪽을 모두 마쳐야 다음 단계로 넘어갈 수 있다고 생각하지 말고 익숙한 유형을 먼저 찾으세요.

자동 분류 기준 어려움은 3번에서 먼저 나타나고 7~16번에 연속해서 배치됩니다. 이 구간은 조건의 대우를 이용한 경우 분류, 실근과 교점의 개수, 정수해와 치역 조건처럼 계산 전에 해석해야 할 내용이 많습니다. 한 문항의 전개가 길어질 때 다음 문항의 접근 가능성을 확인할 필요가 있습니다.

서술·단답형에서는 18·19·23번이 어려움이고 22번은 보통입니다. 후반 번호라고 모두 같은 부담을 갖는 것은 아닙니다. 난이도는 자동 분류 기준이므로 개인의 체감과 다를 수 있으며, 증명형과 조건 분류형 중 자신이 어느 쪽에서 시간을 쓰는지 직접 확인해 보세요.

출제 단원 — 순열조합과 행렬을 중심으로

가장 많은 순열조합은 1·5·7·12·17·19·23번입니다. 공식을 적용하는 문항과 조건에 맞는 대상을 설계하는 문항을 나누어 준비하세요. 특히 12번의 치역과 23번의 일대일대응은 모두 함수의 개수이지만, 함숫값의 반복을 허용하는지에 따라 세는 방식이 달라집니다.

행렬은 2·4·14·15·18·22번에 걸쳐 출제됩니다. 곱셈의 정확성이 출발점이지만 고난도에서는 주어진 관계를 재배열해 성분이나 곱의 성질을 얻는 능력이 필요합니다. 14번은 행렬에서 이차함수의 최대·최소로, 15번은 복소수의 곱과 거듭제곱으로 연결됩니다.

여러가지부등식과 이차함수는 그래프의 축, 구간, 교점과 정수 조건을 함께 다룹니다. 여러가지방정식에서도 켤레근과 서로 다른 실근의 구별이 필요합니다. 다항식의 6번은 반복되는 곱의 합을 구조적으로 정리하므로, 전개 계산과 함께 항을 묶는 관찰도 연습하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이에서 여러 조건을 연결해야 한다는 점을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표에 따른 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 앞 단계에서 얻은 식을 새로운 함수나 구간 조건으로 바꾸어야 하므로, 단계마다 무엇을 구했고 어떤 조건이 남았는지 짧게 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·2번의 기본 연산을 정확하게 처리하고, 3번에서 막히면 뒤의 4~6번을 확인하세요. 7~16번은 자동 분류 기준 어려움이 이어지므로 모든 문항을 순서대로 완결하려 하면 시간이 한쪽에 몰릴 수 있습니다. 식을 세운 뒤 분류 기준이 보이지 않는 문항은 표시하고 다음 접근 가능한 문항으로 이동하는 연습을 하세요.

서술·단답형은 마지막에 한꺼번에 확인하지 말고 전체를 훑을 때 구조를 살펴보세요. 22번은 성분 전개로 증명의 방향을 잡을 수 있고, 19번은 좌석 그림을 행별로 정리하는 준비가 중요합니다. 연습에서는 읽기와 경우 분류에 쓴 시간, 실제 계산 시간을 구별해 기록하면 어느 단계를 줄여야 할지 알 수 있습니다.

마지막 검토는 계산을 반복하기보다 조건 누락을 찾는 데 쓰세요. 9번은 중복된 실근, 10·20번은 절댓값을 풀며 정한 구간, 13·21번은 정수와 끝점, 18번은 행렬 곱의 순서가 핵심입니다. 23번에서는 조건을 만족시키는 경우들을 더하기 전에 동시에 가능한 경우가 있는지 확인해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 순열·조합의 정의와 팩토리얼 변형을 먼저 다지세요. 기호를 풀어 항등식을 확인하고 자연수 범위로 후보를 제한하는 연습을 하세요(1·5·17번 대비).
2. 행렬 곱셈을 성분별로 정확히 쓰세요. 거듭제곱의 관계를 찾고 단위행렬을 이용한 정리와 성분 비교 증명까지 이어가세요(2·4·22번 대비).
3. 배열과 좌석은 경우를 나누는 기준부터 적으세요. 조건의 대우, 이웃한 자리의 묶음, 묶음 내부의 순서를 구별해 세어 보세요(7·19번 대비).
4. 함수의 개수에서는 치역과 일대일대응 조건을 구분하세요. 빠진 함숫값을 제외하는 방법과 조건별 경우의 겹침을 점검하세요(12·23번 대비).
5. 방정식과 부등식은 인수분해 뒤 중복과 정수 조건을 확인하세요. 끝점의 포함 여부를 수직선에 표시하며 후보를 걸러 보세요(3·8·9·13·21번 대비).
6. 이차함수는 축과 구간의 관계를 그린 뒤 절댓값과 이동을 추가하세요. 각 구간에서 구한 근을 원래 범위에 다시 대조하세요(10·11·14·16·20번 대비).
7. 행렬과 다른 개념이 결합된 유형을 마무리하세요. 곱의 순서를 유지한 식 변형과 복소수의 주기를 설명하고, 반복되는 다항식 합의 소거 구조도 확인하세요(6·15·18번 대비).