동문고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

동문고 2학년 2학기 기말 미적분은 어떤 시험인가

동문고등학교는 대구 수성구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 도함수의활용, 여러가지적분법, 정적분의활용입니다. 접선과 운동, 함수의 증감에서 출발해 치환·부분적분, 부피·넓이·곡선의 길이까지 연결됩니다.

기본형에서는 미분하거나 적분할 식을 정확히 읽는 것이 우선입니다. 응용형에서는 접점의 위치를 변수로 두거나, 단면의 넓이를 먼저 만들거나, 적분값을 매개변수의 함수로 해석해야 합니다. 공식을 알고 있어도 적용 대상을 정하지 못하면 계산을 시작하기 어렵습니다.

서술·단답형 17·19번은 모두 자동 분류 기준 보통입니다. 반면 객관식에는 그래프의 교점 수와 적분 관계식의 변환을 요구하는 어려움 문항이 있습니다. 답안 형식만으로 풀이 시간을 예상하기보다, 전체 문항을 살펴 접근 가능한 유형부터 확보하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 중간 구간부터 이어지는 조건 해석

초반의 1~5번과 8번은 자동 분류 기준 쉬움입니다. 접선의 기울기, 위치와 속도의 관계, 유리함수의 적분, 단면적의 누적, 급수와 정적분의 관계를 확인합니다. 각 문항에서 필요한 개념을 즉시 구별하고 기본 계산을 안정적으로 마치는 것이 후속 문항에 쓸 시간을 확보하는 출발점입니다.

6·9·13번은 최댓값 비교, 평면 운동, 적분값의 최소화처럼 계산 뒤 해석이 이어집니다. 17~20번도 보통으로 분류되어 있어, 14~16번에서 시간이 길어질 때 뒤쪽을 확인할 이유가 있습니다. 번호가 뒤라는 이유만으로 모든 문항을 같은 부담으로 묶지 마세요.

어려움 문항은 7번의 접선 개수부터 시작하며 10~12번과 14~16번, 21번에 배치됩니다. 그래프 개형, 구간 분할, 미분과 적분의 연결이 주요 부담입니다. 이 분포는 자동 분류 기준이므로 실제 체감 난도를 확정하지는 않지만, 풀이가 길어질 지점을 예상하는 데 활용할 수 있습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용과 적분의 해석을 함께 준비

가장 많은 도함수의활용에서는 접선과 그래프가 중요한 연결 고리입니다. 1번의 접선 계산이 7번의 접선 개수와 10번의 부등식 조건으로 확장되고, 15번은 미분으로 얻은 개형을 실근 개수 판단에 사용합니다. 도함수의 부호표를 완성한 뒤 원래 질문에 맞게 읽는 연습이 필요합니다.

여러가지적분법에서는 식 정리와 치환, 부분적분뿐 아니라 적분으로 정의된 관계를 미분하는 유형이 나타납니다. 11·21번은 적분식을 곧바로 계산하려 하기보다 미분했을 때 어떤 항이 남는지 살펴야 합니다. 13번은 적분변수와 매개변수를 구별해 적분값의 최솟값으로 연결합니다.

정적분의활용은 적분식을 세우는 과정이 관건입니다. 4·12번에서는 단면적, 14번에서는 속력, 16·18번에서는 도형의 경계와 함수의 대소를 먼저 정합니다. 적분 계산을 끝냈더라도 처음 구하려던 양이 부피인지 길이인지 넓이인지 되짚어 보세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산에 앞서 표현을 바꾸고 적용 범위를 점검해야 한다는 것입니다. 연습할 때는 첫 줄에 보조함수, 부호 경계, 적분변수의 역할을 적어 풀이의 방향을 분명히 하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 기본형과 8번처럼 접근이 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 7번에서 그래프의 경우 구분이 길어지면 현재까지 얻은 보조함수만 남기고 다음 문항을 확인하는 방식이 좋습니다. 14~16번에 오래 머물기 전에 17~20번의 계산형과 기본 응용형을 살펴 풀이 가능한 문제를 확보하세요.

서술·단답형은 17·19번입니다. 17번은 삼각함수의 차수를 낮추는 변형과 항별 적분을 구분해 쓰고, 19번은 이계도함수가 사라지는 지점에서 실제 부호 변화가 있는지 보여 주세요. 연습에서는 식 변형에 걸린 시간과 계산에 걸린 시간을 따로 살펴, 어디서 풀이가 지연되는지 확인하세요.

검토할 때는 계산을 전부 반복하기보다 조건을 먼저 확인하세요. 6번은 닫힌구간의 끝점, 10번은 전체 정의역에서의 부등식, 14번은 절댓값의 부호, 16번은 상수의 허용 범위가 중요합니다. 18번은 넓이의 위아래, 20번은 초기 높이, 21번은 적분변수와 바깥 변수의 구별을 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 접선과 운동의 기본 미분을 먼저 복습하세요. 접점과 기울기, 위치·속도·가속도의 관계를 말로 설명한 뒤 식을 세워 보세요(1·2·9번 대비).
2. 도함수의 부호표와 그래프 개형을 연결하세요. 최댓값·최솟값의 끝점 검사에서 시작해 보조함수와 수평선의 교점 수로 확장하세요(6·7·10·15·19번 대비).
3. 유리식 정리, 로그 치환, 삼각함수의 차수 낮추기를 연습하세요. 적분을 시작하기 전에 어떤 변형이 필요한지 먼저 적으세요(3·8·17번 대비).
4. 부분적분과 적분 관계식의 미분을 묶어 공부하세요. 적분변수와 매개변수를 구별하고 곱의 미분에서 남는 항을 확인하세요(11·13·21번 대비).
5. 정적분의 의미로 식을 세우는 연습을 하세요. 급수의 소구간과 표본점, 부피의 단면적, 넓이의 경계와 대소를 각각 표시하세요(4·5·12·16·18번 대비).
6. 길이와 운동의 응용에서는 부호와 초기 조건을 점검하세요. 속력의 절댓값으로 구간을 나누고 변화율을 적분한 뒤 처음 상태를 반영하세요(14·20번 대비).