잠신고등학교
2025년 3학년 1학기 중간고사

잠신고 고3 1학기 중간 미적분은 어떤 시험인가

잠신고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 시험의 출제 범위는 수열의 극한, 급수, 여러 가지 미분법, 도함수의 활용입니다. 총 22문항으로, 앞의 객관식과 뒤의 서술·단답형 모두에서 극한과 미분을 다룹니다.

초반에는 기본 극한과 매개변수 미분을 확인하지만, 이후에는 조건을 식으로 바꾸는 단계가 중요해집니다. 도형에서 넓이 함수를 만들거나, 접선의 기울기를 교점의 좌표와 연결하거나, 실근 개수로 매개변수의 범위를 제한해야 합니다. 미분 공식만 외워서는 풀이의 출발점을 잡기 어렵습니다.

극한에서도 가장 크게 자라는 항을 고르는 것만으로 끝나지 않습니다. 밑의 크기가 바뀌는 경계와 짝홀에 따른 차이를 점검해야 합니다. 미분 영역에서는 절댓값과 역함수의 미분가능성을 구분하는 훈련이 필요하며, 계산에 들어가기 전 조건을 표나 그래프로 정리하는 습관이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 초반 이후 어려움이 이어지는 구조

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움으로 분류된 1~3번에서는 기본 극한의 형태를 알아보고, 수열의 주된 항을 정리하며, 매개변수에 대한 미분계수를 연결합니다. 이 구간은 풀이를 간결하게 쓰되 부호와 미분 순서를 검산하는 것이 좋습니다.

보통인 4·6·7·8번도 각각 수렴 조건, 이계도함수 정리, 도형의 넓이 표현, 급수와 일반항의 관계를 요구합니다. 5번은 이 사이에 놓인 어려움 문항이므로 번호 순서만 보고 계속 붙잡기보다 반복 구조가 보이는지 먼저 판단하세요.

9번 이후는 모두 어려움으로 분류됩니다. 다만 필요한 사고는 서로 다릅니다. 13·17번은 도형을 식으로 바꾸는 단계가, 19·20번은 미분가능 조건과 부호 구분이 관건입니다. 자신이 접근 가능한 유형부터 해결하고, 해석이 정리되지 않은 문항은 다시 돌아올 수 있도록 표시해 두세요.

출제 단원 — 미분법과 활용이 각각 6문항

가장 많이 나온 단원은 여러가지미분법과 도함수의활용입니다. 특히 도함수의활용은 해당 문항 전체가 자동 분류 기준 어려움입니다. 접선, 교점 개수, 정수근, 합성된 함수의 증감을 다루므로 도함수를 구한 다음 무엇을 판단해야 하는지까지 연습해야 합니다.

수열의극한은 기본적인 주된 항 정리에서 시작해 도형, 함수의 연속, 근호식의 유리화, 지수 형태의 성장 비교로 확장됩니다. 급수 역시 등비급수 공식을 바로 쓰는 문제에 머물지 않고, 실수인 거듭제곱근의 개수나 닮음 조건을 먼저 해석하게 합니다.

학습할 때는 단원별 공식을 정리한 뒤 연결 유형을 따로 묶어 보세요. 도형에서 식을 세우는 7·13·17번, 조건으로 매개변수를 제한하는 10·16·18번처럼 출발 과정이 비슷한 문항을 비교하면 식을 세우는 판단력을 기르기 좋습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 이용자 투표로 확정한 순위가 아니라 풀이 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 식 하나를 계산해 끝내기보다 그래프의 구간과 예외 조건을 정리해야 한다는 것입니다. 조건을 정리한 그림과 표가 다음 계산의 근거가 되도록 쓰는 연습이 필요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~4번과 6~8번처럼 접근이 비교적 분명한 문항을 정확히 처리하세요. 5번에서 반복 규칙이 보이지 않으면 표시하고 넘어가도 좋습니다. 후반에 어려움이 이어지므로 번호 순서대로 모두 끝내겠다는 계획보다, 조건을 정리할 수 있는 문항부터 해결하는 방식이 적합합니다.

21·22번을 읽고 답안의 뼈대를 적을 시간을 남겨 두세요. 21번은 교점 조건과 기울기 관계를 연결하는 순서가, 22번은 경우를 나누는 기준과 경계 확인이 중요합니다. 연습할 때에는 전체 풀이 시간 안에 서술·단답형을 시작할 시점을 정하고 실제로 지킬 수 있는지 점검하세요.

검토에서는 9번의 접선 기울기 분모, 10·22번의 경계, 16번의 유리수와 수렴 조건, 18번의 중복 근을 우선 확인하세요. 19·20번에서는 도함수 식을 구한 것과 미분가능성을 확인한 것이 다릅니다. 공식이 성립하는 구간과 따로 살펴야 할 점을 답안에 구분해 두면 재검토가 빨라집니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 극한과 미분 정리 — 기본 극한으로 바꾸는 과정, 매개변수 미분, 이계도함수 정리를 짧고 정확하게 쓰세요(1·2·3·6번 대비).
2. 급수의 수렴 논리 — 공비의 범위, 일반항과 부분합의 차이, 반복 항의 묶기와 부분분수 소거를 구분해 연습하세요(4·5·8·17번 대비).
3. 지수항과 근호식의 극한 — 밑의 크기와 경계를 표로 나누고, 유리화 뒤 남는 차수를 확인하세요(10·14·22번 대비).
4. 도형과 접선의 식 세우기 — 거리와 넓이, 사인법칙, 접점의 통과 조건을 식으로 옮기는 연습을 하세요(7·9·11·13·15·21번 대비).
5. 조건에 따른 후보 검증 — 급수의 유리수 조건과 정수근의 중복을 확인하고 교점 개수를 구간별로 제한하세요(12·16·18번 대비).
6. 미분가능성과 합성함수 심화 — 영점, 도함수의 영점, 역함수에서 대응하는 점을 구분해 표를 만든 뒤 부호를 추적하세요(19·20번 대비).