단국대학교부속소프트웨어고등학교
2024년 1학년 1학기 중간고사

단국대학교부속소프트웨어고 고1 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

단국대학교부속소프트웨어고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험은 다항식의 연산과 인수분해, 항등식과 나머지정리, 복소수, 이차방정식, 이차함수와 근의 위치 조건을 다룹니다.

앞부분에는 연산과 공식 변형을 점검하는 문항이 배치돼 있습니다. 그러나 같은 다항식 단원에서도 도형의 길이와 넓이를 먼저 해석해야 하는 문항이 있어, 공식 암기만으로 준비하기에는 부족합니다.

서술·단답형은 근과 계수의 관계, 복소수의 식 변형, 도형 응용, 제한된 범위의 최대·최소를 다룹니다. 복잡해 보이는 식에서 필요한 관계를 추려 내고 그 관계를 쓰는 근거까지 정리하는 방식으로 공부하세요.

난이도 분포 — 중후반에 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 1·2·22번입니다. 서술·단답형인 22번도 기본 공식의 연결로 접근할 수 있으므로, 앞의 어려운 문항에 막혔다고 뒤쪽 문항을 모두 미루는 전략은 피하세요.

보통 문항에서는 인수분해, 나머지 구성, 판별식의 교집합처럼 익숙한 개념을 정확히 적용해야 합니다. 특히 7·10번은 부등호와 경계 조건을, 15·23번은 각각 차수와 정의역을 놓치지 않는 것이 중요합니다.

어려움 문항은 11~14번과 16~21번에서 이어집니다. 다만 중간의 15번은 보통이므로 번호순으로 난도가 계속 올라간다고 생각하지 말고, 첫 접근이 보이는 문항부터 해결하세요.

출제 단원 — 다항식의 비중과 도형 응용

다항식은 기본 연산부터 도형 응용과 나눗셈의 구조 추론까지 폭이 넓습니다. 12·14번에서는 도형에서 얻은 관계를 공식으로 정리하고, 18번에서는 나머지의 차수 제한을 출발점으로 삼아야 합니다.

복소수는 거듭제곱의 주기뿐 아니라 음의 제곱근, 실수 조건, 켤레를 이용한 묶기까지 준비해야 합니다. 6번의 기본 주기를 익힌 다음 11·17·21번으로 확장하면 개념 사이의 연결을 확인할 수 있습니다.

이차함수와 이차방정식에서는 식을 푸는 능력 외에 조건을 번역하는 능력이 필요합니다. 9번의 접점 조건, 13번의 도형 최적화, 19번의 자연수 조건은 서로 다른 맥락을 방정식과 함수로 정리하는 연습에 적합합니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 강남구의 같은 범위 시험

같은 2024학년도 1학년 1학기 중간고사 수학(상)을 치른 강남구 학교들과 견주면, 이 시험의 23문항은 지역 평균 21.2문항보다 많고 서술·단답형 5문항은 평균 5.9문항보다 적습니다. 서술·단답형 수만으로 전체 부담을 판단하기는 어렵습니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 지역 평균 28%에 비해 이 시험이 48%이며, 11개교 중 1위입니다. 이는 분류상 어려움 문항의 비율 순서이므로 실제 응시자의 체감 난도와 구별해서 읽어야 합니다.

영동고등학교와 단국대학교사범대학부속고등학교는 이차함수, 숙명여자고등학교는 복소수가 가장 많은 단원입니다. 이 시험은 다항식이 중심이므로, 이웃 학교의 함수 문항으로 확장하기에 앞서 다항식의 도형 응용과 나눗셈 조건을 충분히 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항의 공통점은 주어진 조건을 그대로 계산하지 않고 활용하기 좋은 형태로 바꾸는 데 있습니다. 도형의 넓이 관계, 나머지의 차수 제한, 근이 만족하는 등식 중 무엇을 먼저 사용할지 말로 설명해 본 뒤 풀이를 시작하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 연산과 익숙한 공식 문항을 확보하고, 조건을 식으로 옮기지 못한 문항에는 표시를 남기세요. 특히 9번 이후에는 고난도 문항 사이에 보통 문항이 있으므로 앞 문항의 풀이가 끝나야만 다음으로 이동한다는 생각을 버리는 것이 좋습니다.

서술·단답형을 확인할 시간을 미리 남겨 두세요. 19~21번에서 막혀도 22·23번은 별도로 접근할 수 있습니다. 연습할 때에는 계산 시간과 조건 해석 시간을 구별해 기록하면 어느 단계에서 시간이 늘어나는지 파악할 수 있습니다.

검토에서는 3번의 양수, 10번의 이차방정식 성립 조건, 13번의 점이 움직일 수 있는 범위, 17번의 허수부분 조건, 19번의 서로 다른 자연수 조건을 확인하세요. 23번은 치환한 식의 꼭짓점을 찾는 데서 끝내지 말고 두 변수의 비음수 조건이 만드는 구간에 포함되는지 확인해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항식의 연산과 공식 변형을 먼저 다지세요. 전개와 인수분해를 오가며 필요한 합과 곱만 남기는 연습을 합니다(1·2·3·5·8번 대비).
2. 나머지정리와 인수정리를 익힌 뒤 나머지의 차수 제한까지 연결하세요. 조건을 항등식으로 쓴 다음 계산하는 순서를 고정합니다(4·15·16·18번 대비).
3. 도형에서 길이의 합·곱·제곱합을 추출하세요. 피타고라스 정리, 닮음, 넓이 표현을 곱셈공식과 연결합니다(12·14·22번 대비).
4. 복소수의 주기를 기본으로 음의 제곱근과 켤레 관계를 확장하세요. 실수 조건을 등식으로 바꾸고 목표식을 묶는 연습을 합니다(6·11·17·21번 대비).
5. 판별식과 그래프 조건을 함께 정리하세요. 접점, 근의 위치, 제한된 구간의 최대·최소마다 먼저 써야 할 조건을 구분합니다(7·9·10·13·23번 대비).
6. 근과 계수의 관계를 자연수 조건 및 근의 거듭제곱 변형과 결합하세요. 후보를 정한 근거와 제외한 조건까지 짧게 적어 봅니다(19·20번 대비).