양서고등학교
2024년 2학년 1학기 중간고사

양서고 고2 1학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

양서고등학교는 경기 양평군에 있습니다. 이 시험의 출제 범위는 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수입니다. 그래프에서 극한과 함숫값을 구별하는 기초부터, 함수 관계식을 미분의 정의나 극한 조건과 연결하는 추론까지 다룹니다.

특징은 정의를 아는 것과 정의를 정확히 적용하는 것을 구분해야 한다는 점입니다. 9번에서는 극한 계산 과정의 타당성을, 12번에서는 변형된 차분몫과 미분가능성의 관계를 살펴야 합니다. 겉모양이 익숙한 식이라고 곧바로 계산하기보다 어떤 조건에서 같은 의미가 되는지 확인해야 합니다.

서술·단답형 10~13번은 그래프의 연속성, 사잇값 정리, 미분가능성, 항등식과 극한을 다룹니다. 정리 이름만 적는 답안보다 가정과 결론 사이를 이어 주는 문장이 필요합니다. 객관식에서도 식을 세우는 이유를 짧게 메모하는 연습이 서술형 준비로 이어집니다.

난이도 분포 — 객관식 중반과 서술형 끝의 조건 추론

자동 분류 기준 쉬움인 1번은 그래프에서 접근 방향과 점의 표시를 읽는 문항입니다. 보통인 2·3번에서는 무한대에서의 다항식 차수 비교, 유한한 극한의 조건, 미분계수의 정의를 연결합니다. 시작 구간에서도 단순 대입이 가능한지부터 구별해야 합니다.

4~8번은 어려움 문항이 연속되는 구간입니다. 함수 관계식을 도함수와 연결하거나, 교점 수의 변화를 연속성으로 해석하고, 도형의 넓이를 극한식으로 옮겨야 합니다. 문항마다 출발 아이디어가 달라 앞 문항의 접근을 그대로 반복하기 어렵습니다.

9~11번은 자동 분류 기준 보통이지만 설명을 생략하기 쉬운 구간입니다. 잘못된 극한 계산의 원인, 연속성 판단의 근거, 실근 존재의 보장이 각각 필요합니다. 이후 12·13번에는 정의 검토와 관계식 변형이 남아 있으므로 앞 구간에서 논리를 간결하게 정리하는 연습이 중요합니다.

출제 단원 — 극한을 중심으로 연속과 미분을 연결

함수의극한이 가장 많지만 풀이의 모습은 다양합니다. 1번은 그래프 읽기, 2번은 다항식의 형태 결정, 6번은 좌표와 도형, 9번은 계산 과정 검토, 13번은 항등식 정리와 연결됩니다. 극한 공식을 반복하는 것만으로는 이 단원의 출제 범위를 충분히 대비하기 어렵습니다.

미분계수와도함수에서는 도함수 계산에 앞서 식을 정의에 맞게 만드는 과정이 중요합니다. 4번의 함수 관계식, 8번의 곱 형태 항등식, 12번의 치환된 차분몫이 그 예입니다. 함수의연속에서는 5·7번의 교점 개수와 10·11번의 논술이 함께 등장하므로 그림과 문장 양쪽으로 개념을 설명해 보세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아닌 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식의 외형보다 조건이 담고 있는 정보를 읽어야 합니다. 교점 수의 경계, 항등식의 제약, 치환 후 접근 범위를 말로 설명한 다음 계산을 시작하는 연습을 권합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

1~3번에서 그래프 읽기와 기본 극한 변형을 정리한 뒤, 4~8번에서는 출발 관계가 보이는 문항부터 진행하세요. 어려움 문항이 이어진다고 같은 자리에서 계속 버티면 서술형 작성 시간이 줄어듭니다. 관계식이나 그림을 정리해도 다음 단계가 떠오르지 않으면 표시하고 다른 문항을 확인하는 편이 좋습니다.

9~11번을 뒤에 남은 쉬운 계산으로 취급하지 마세요. 9번은 계산 과정의 오류를 구별해야 하고, 10·11번은 연속성과 정리의 적용 근거를 문장으로 써야 합니다. 서술·단답형에 들어가기 전에 남은 시간을 확인하고, 완성 가능한 답안의 가정과 근거부터 기록하세요.

검토할 조건은 5번의 조각별 구간 경계, 6번의 좌표 부호와 대칭축, 7번의 접촉과 꺾임, 8번의 실근에 관한 경우 구분입니다. 서술형에서는 11번의 풀이 방법 제한, 12번의 접근 방향과 역의 성립 여부, 13번의 나눗셈 가능 조건을 다시 확인하세요. 답안의 마지막 점검은 계산 반복보다 빠진 조건을 찾는 데 집중하는 것이 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 그래프에서 좌극한·우극한·함숫값을 따로 읽고, 새 함수로 옮겼을 때도 다시 비교하는 연습을 하세요. 계산 전 비교 대상을 적는 습관부터 만듭니다(1·10번 대비).
2. 유한한 극한과 무한대의 극한에서 다항식의 형태를 결정하는 조건을 구별하세요. 차수 비교와 분자가 만족해야 하는 조건을 설명해 봅니다(2·3·13번 대비).
3. 부정형 극한은 통분과 인수분해로 전체 구조를 보존하며 변형하세요. 잘못된 풀이를 고칠 때에는 어느 단계의 논리가 성립하지 않는지 문장으로 적습니다(3·9번 대비).
4. 직선의 이동에 따른 교점 개수를 조각별로 정리하세요. 정의 구간의 경계, 접점, 절댓값의 꺾이는 점을 구분하는 그래프 유형을 집중 연습합니다(5·7번 대비).
5. 함수 관계식에서 특수한 값 대입과 곱의 미분을 연결하세요. 좌표 문제에서는 근과 계수의 관계로 도형의 길이·넓이를 정리하는 연습을 덧붙입니다(4·6·8번 대비).
6. 사잇값 정리의 가정과 결론, 미분가능성의 정의를 문장으로 써 보세요. 치환된 증분의 접근 방향과 명제의 역을 반례로 점검하는 유형을 연습합니다(11·12번 대비).
7. 극한 조건이 드러나도록 항등식을 묶고 나누는 서술 연습으로 마무리하세요. 제외되는 점을 적은 다음 극한을 취하는 순서를 지키며 이 시험의 서술 답안을 다시 작성합니다(10~13번 대비).