반송고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

반송고 고2 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

반송고등학교는 경기 화성시에 있습니다. 이 시험의 출제 단원은 미분계수와도함수, 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 함수의 증가·감소와 극값에서 출발해 적분으로 정의된 함수, 넓이와 운동까지 이어지는 구성입니다.

앞부분에는 도함수의 부호, 적분과 미분의 관계, 그래프의 넓이를 확인하는 문항이 있습니다. 그러나 6번부터는 대칭 조건으로 함수의 형태를 정하는 문제가 나오고, 후반에는 절댓값과 교점 개수처럼 경우를 나누어야 하는 조건이 더해집니다.

서술·단답형은 운동 상황을 적분으로 표현하는 17번과 함수의 조건을 분석하는 18·19번입니다. 계산을 마치는 것뿐 아니라 왜 그 함수 형태와 변수 범위를 사용할 수 있는지 설명하는 연습이 필요합니다. 풀이의 출발 근거를 짧게 적는 습관을 들이세요.

난이도 분포 — 후반 객관식에 연속된 어려움

난이도는 자동 분류 기준이며 비중은 반올림한 값입니다. 쉬움 구간에서도 1번의 닫힌구간 끝점, 2번의 도함수 부호, 8번의 이동거리처럼 확인해야 할 조건은 남아 있습니다. 익숙한 유형이라고 검토를 생략하면 후반에 쓸 시간을 확보하려던 계획이 흔들릴 수 있습니다.

보통 문항은 미분계수로 극한을 읽거나 함수의 차로 부등식을 정리하는 등 적절한 표현을 선택해야 합니다. 9번과 17번은 모두 운동 상황이지만, 위치가 주어졌는지 속도가 주어졌는지에 따라 미분과 적분의 방향이 달라집니다.

11~16번은 어려움 문항이 연속됩니다. 적분식 변형, 평행이동, 절댓값 그래프, 극값과 교점 개수가 번갈아 등장하므로 같은 계산을 반복하는 방식으로는 대응하기 어렵습니다. 서술형에서는 17번의 접근을 먼저 확인하고 18·19번에 필요한 논증 시간을 남겨 두세요.

출제 단원 — 도함수의활용을 중심으로 적분과 연결

도함수의활용은 최댓값과 증가 조건의 기본형에서 대칭, 방정식의 실근, 함수의 최적화로 확장됩니다. 같은 단원 안에서도 도함수를 직접 구하는 문제와 보조함수를 먼저 설정해야 하는 문제를 구별해야 합니다. 특히 18번은 함수와 도함수의 차를 새로운 함수로 보는 것이 출발점입니다.

정적분에서는 3번의 기본적인 미분 관계가 11번의 적분식 변형으로 이어집니다. 14번은 정적분으로 정의된 함수의 극값을, 16번은 도함수 절댓값의 적분을 다룹니다. 적분을 실제로 계산하기보다 미분하거나 구간별 함수값 변화로 읽는 능력이 중요합니다.

정적분의활용은 넓이와 운동을 모두 포함합니다. 12번에서는 정적분으로 얻은 값이 넓이와 같은지 함수의 부호부터 확인해야 합니다. 부정적분의 10번도 구간별 적분상수와 연속성을 연결하므로, 단원별 공식 암기 뒤에는 서로 다른 조건을 결합하는 연습을 하세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 경기 지역의 같은 시험 조건

같은 2023학년도 고2 2학기 기말 수학II를 치른 경기 지역 학교들과 비교하면, 반송고는 이웃 학교 평균인 총 22.5문항보다 문항 수가 적고 서술·단답형은 평균 2.0문항보다 많습니다. 자동 분류 기준 어려움 비율은 이웃 학교 평균 39%보다 높고, 반송고를 포함한 3개교 중 2위입니다.

가장 많이 나온 단원은 모두 도함수의활용입니다. 다만 가장 많은 단원이 같다는 사실만으로 세부 유형이나 나머지 단원 비중까지 같다고 볼 수는 없습니다. 반송고에서는 절댓값 적분의 극값과 함수 차의 부호 논증까지 연결해 준비하고, 서술형의 조건 해석을 문장으로 쓰는 연습에 시간을 배정하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정한 난도 순위가 아닌 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산식의 후보를 얻은 뒤에도 부호 변화, 구간 전체의 조건, 도형의 성립 여부를 검토해야 한다는 점입니다. 마지막 검증을 별도의 풀이 단계로 남겨 두세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 기본 구조를 확인하고, 6번에서 대칭 조건이 정리되지 않으면 표시한 뒤 다음 문항으로 이동하세요. 7~10번에는 최솟값, 운동, 구간별 적분처럼 접근이 비교적 분명한 문제가 있습니다. 번호 순서보다 풀이 방향이 보이는지를 기준으로 진행하세요.

11~16번을 모두 해결한 뒤 서술형을 시작하면 논증을 쓸 시간이 부족할 수 있습니다. 후반 객관식에서 같은 경우를 반복해 계산하고 있다면 17번의 위치 복원부터 확인하세요. 18·19번은 계산 전 조건을 식으로 옮기는 데 시간이 필요하므로, 연습 때 조건 정리와 답안 작성에 걸린 시간을 함께 기록하세요.

검토할 때는 1번의 끝점, 8번의 거리와 변위, 9·17번의 출발 후 첫 만남을 확인하세요. 12번에서는 목표 구간의 부호, 14번에서는 극소 전후의 부호 변화가 중요합니다. 18번의 부등식이 구간 전체에서 성립하는지와 19번의 사분면·서로 다른 교점 조건도 마지막에 다시 대조하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 도함수의 부호표로 증가·감소와 최대·최소를 정리하세요. 끝점 비교와 모든 실수에서의 부등식 조건을 함께 확인하세요(1·2·7번 대비).
2. 미분계수와 적분의 기본 관계를 복습하세요. 차분을 미분계수로 바꾸고 적분상수는 연속 조건으로 연결하세요(3·5·10번 대비).
3. 운동에서는 위치·속도·거리의 관계를 구별하세요. 주어진 양을 표시한 뒤 미분할지 적분할지 결정하고 첫 만남 조건을 적용하세요(8·9·17번 대비).
4. 정적분의 구간 분할과 평행이동을 연습하세요. 적분식의 변수를 구별하고 넓이로 해석하기 전 부호를 확인하세요(4·11·12번 대비).
5. 절댓값과 교점 개수는 경계 상황부터 그려 보세요. 극값에 닿거나 부호가 바뀌는 경우를 분리하고 누적 변화량을 해석하세요(13·14·15·16번 대비).
6. 조건이 있는 최적화는 보조함수와 허용 범위부터 정리하세요. 대칭, 중근, 양의 근 조건을 식으로 옮기고 극값이 실제 달성되는지 설명하세요(6·18·19번 대비).