예당고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

예당고 고2 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

예당고등학교는 경기 화성시에 있습니다. 이 시험은 도함수의 활용과 부정적분, 정적분 및 그 활용을 다루며, 위치와 속도부터 함수의 극값, 곡선 사이의 넓이까지 연결합니다. 총 21문항 가운데 객관식은 18문항, 서술·단답형은 3문항입니다.

초반에는 부정적분 계산, 위치함수의 미분, 기본 넓이와 이동거리처럼 개념을 곧바로 적용하는 문제가 나옵니다. 이후 접선과 곡선 사이의 넓이, 주기함수의 적분, 도함수 그래프 해석으로 확장됩니다. 같은 계산법을 알고 있어도 무엇을 적분하거나 미분할지 정하지 못하면 풀이가 길어질 수 있습니다.

후반부의 특징은 조건을 여러 단계로 옮겨야 한다는 점입니다. 함수의 곱에서는 차수를, 모든 실수에서의 부등식에서는 최대·최소를, 절댓값 적분에서는 부호가 바뀌는 경계를 찾아야 합니다. 서술·단답형에서도 계산 결과에 이르는 근거를 문장과 식으로 연결하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 기본 계산 이후 후반에 집중되는 어려움

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움에 해당하는 1~6번은 적분 공식과 미분의 의미, 그래프의 넓이를 확인하는 구간입니다. 여기서 중요한 것은 무리하게 속도를 높이는 것보다 적분상수와 구간 방향, 거리의 부호 같은 기본 조건을 안정적으로 처리하는 것입니다.

보통 문항은 극값 조건에서 함수 복원하기, 넓이의 최대화, 정적분을 포함한 등식 등으로 구성됩니다. 19번도 보통으로 분류되지만, 곡선의 위아래가 달라지는 이유를 설명해야 하므로 계산만 확인하고 넘어가면 서술 연습이 부족해집니다.

10번에서 실근 개수 해석을 거친 뒤 14~18번에는 어려움 문항이 이어집니다. 이 구간은 이동거리, 그래프, 차수, 부등식, 절댓값 관계로 주제가 바뀌므로 한 가지 풀이에 고집하지 않는 운영이 필요합니다. 20·21번을 위해 식의 설정과 근거를 적는 시간을 남겨 두세요.

출제 단원 — 도함수의 활용과 적분의 해석을 함께 준비

도함수의활용이 가장 많은 단원입니다. 속도 계산에서 출발해 도형의 최대 넓이, 방정식의 실근 개수, 모든 실수에서 성립하는 부등식까지 폭이 넓습니다. 도함수를 구하는 연습에 더해 부호표가 원래 함수의 그래프에 어떤 정보를 주는지 설명할 수 있어야 합니다.

정적분의활용은 넓이와 이동거리의 기본형에서 접선과의 넓이, 중점의 이동거리로 확장됩니다. 두 유형 모두 적분할 식을 세우기 전에 부호 또는 위아래 관계를 확인해야 합니다. 특히 14번과 19번은 구간을 나누는 근거를 생략하지 않는 연습에 적합합니다.

정적분에서는 구간의 연결 성질과 주기성 외에 적분으로 정의된 함수의 미분이 등장합니다. 부정적분 역시 단순 공식에 머물지 않고 극값 조건이나 함수의 곱 조건과 결합됩니다. 단원 이름만 보고 필요한 계산을 단정하지 말고 각 조건의 역할을 먼저 구분하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 내용에 근거해 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 조건의 적용 순서를 스스로 정해야 한다는 것입니다. 풀이를 복습할 때 계산식을 베끼기보다 어떤 조건이 다음 단계의 근거가 됐는지 연결해서 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 계산과 기본 해석을 안정적으로 처리하고, 이어지는 보통 문항에서 풀이 방향을 빠르게 잡으세요. 10번처럼 그래프의 접촉 상황을 읽어야 하는 문항은 식을 길게 전개하기 전에 간단한 개형을 그려 보는 편이 좋습니다. 방향이 서지 않으면 표시하고 다음 문항으로 이동하세요.

객관식 후반을 모두 해결한 뒤 서술형을 시작하겠다는 계획은 부담이 큽니다. 19번의 넓이 설정과 구간별 위아래 관계를 먼저 적어 두고, 20·21번의 핵심 조건을 식으로 옮길 시간을 확보하세요. 연습에서는 전체 풀이 시간과 별도로 서술 답안을 정리하는 데 걸린 시간도 확인하면 도움이 됩니다.

마지막 검토는 계산을 처음부터 반복하기보다 조건을 확인하는 데 쓰세요. 9·10번에서는 서로 다른 실근과 접하는 경계를, 14번에서는 원점 재통과와 방향 전환의 차이를, 17번에서는 자연수 범위의 양 끝을 점검하세요. 20번의 도함수 영점을 모두 극값으로 판단하지 않았는지, 21번에서 절댓값을 부호별로 처리했는지도 확인해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 미분·적분과 구간 성질을 점검하세요(1·2·4번 대비). 계산 후 미분으로 확인하거나 적분 방향을 다시 읽는 습관부터 만드세요.
2. 넓이와 이동거리의 부호표를 그리세요(3·5·6·14·19번 대비). 영점과 교점을 표시한 뒤 구간별 적분식을 세우는 연습을 하세요.
3. 도함수로 그래프와 극값을 설명하세요(7·8·9·10·15·20번 대비). 도함수의 영점, 부호 변화, 원래 함수의 높이를 구분해 적으세요.
4. 적분을 포함한 조건에서 함수를 복원하세요(12·13·16번 대비). 상수로 묶을 부분, 연속 조건, 차수 비교를 각각 구별해 연습하세요.
5. 모든 실수라는 조건을 최대·최소 문제로 바꾸세요(17번 대비). 매개변수의 허용 범위와 자연수 개수 계산을 나누어 검토하세요.
6. 적분함수의 미분과 절댓값의 경계 처리를 연결하세요(18·21번 대비). 미분 가능한 이유와 나누는 구간의 근거를 먼저 적고 계산하세요.
7. 서술 답안을 완성한 뒤 조건 누락을 검토하세요(19·20·21번 대비). 교점 결정, 극값 판정, 구간 분할의 이유가 답안에 드러나는지 점검하세요.