동탄국제고등학교
2024년 2학년 1학기 기말고사

동탄국제고 2학년 1학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

동탄국제고등학교는 경기 화성시에 있습니다. 이 회차의 출제 범위는 도함수의 활용과 부정적분·정적분, 정적분의 활용입니다. 전 문항이 객관식이지만, 선택지를 보기 전에 함수의 형태나 조건의 의미를 스스로 정리해야 하는 문제가 이어집니다.

앞부분에서는 극대·극소, 정적분의 성질, 넓이, 적분상수를 확인합니다. 이후에는 모든 실수에 대한 조건, 움직이는 구간의 최솟값, 접선의 개수처럼 계산에 들어갈 기준을 먼저 세워야 하는 내용이 나옵니다. 기본 공식을 알고 있는지와 그 공식을 언제 사용할지 판단하는 능력을 함께 점검할 수 있습니다.

후반부는 미분과 적분을 분리해 공부했을 때 대응하기 까다롭습니다. 적분 관계식을 미분해 도함수를 얻거나, 함수의 근과 대칭 조건으로 그래프를 정한 뒤 넓이를 구하는 방식이 등장합니다. 단원별 풀이를 익힌 다음에는 서로 다른 조건을 연결하는 연습까지 해야 합니다.

난이도 분포 — 어려움이 후반부에 집중

자동 분류 기준 쉬움 구간인 1~4번은 풀이의 출발점이 비교적 분명합니다. 다만 1번에서는 도함수의 근과 극값을 구별하고, 4번에서는 적분상수를 남겨 두어야 합니다. 초반 문항이라고 조건 확인까지 생략하면 뒤에서 검산 부담이 커집니다.

보통 문항인 5·6·7·9번은 끝점 비교, 절댓값의 구간 분할, 운동 방향, 적분한 함수의 연속성을 각각 확인합니다. 8번에서 막혀도 9번으로 넘어가면 풀이를 이어갈 수 있으므로, 번호 순서만 고집하지 않는 운영이 필요합니다.

10~20번에서는 어려움 문항이 계속됩니다. 최댓값으로 전칭 조건을 처리하는 문제부터 접선과 중근, 절댓값 함수의 미분가능성까지 판단 대상이 달라집니다. 어려움이라는 분류가 같더라도 접근 방법은 다르므로, 식을 읽고 바로 사용할 개념을 떠올릴 수 있는 문항부터 해결하세요.

출제 단원 — 도함수 활용을 중심으로 미분과 적분 연결

도함수의활용은 10문항으로 가장 많습니다. 극값을 구하는 기본형에서 시작해 증가 조건, 평균값 정리, 접선의 개수와 미분가능성으로 넓어집니다. 도함수의 근만 구하는 공부보다 부호표를 그린 뒤 원래 함수의 그래프가 어떻게 움직이는지 설명하는 공부가 필요합니다.

정적분의활용은 넓이와 운동을 모두 다룹니다. 6번의 절댓값 적분은 부호에 따른 구간 분할을, 15번은 변위와 이동거리의 구별을, 17·18번은 그래프의 구조를 먼저 정하는 과정을 확인합니다. 넓이 공식을 암기하더라도 어떤 영역을 계산하는지 표시하지 않으면 적용을 잘못할 수 있습니다.

부정적분과 정적분에서는 문항 수보다 연결 방식에 주목하세요. 13번은 적분 등식과 극값 조건을, 20번은 변수 끝점을 가진 적분과 다항식의 항등식을 연결합니다. 기본 적분 계산을 마친 뒤에는 적분식을 미분해 얻을 수 있는 정보를 따로 정리해 보는 것이 좋습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 분석상 고난도 문항으로, 실제 응시자의 체감 순위를 뜻하지 않습니다. 공통점은 조건을 그대로 계산하기보다 다른 표현으로 바꾸어야 한다는 점입니다. 복습할 때는 접선에서 실근으로, 미분가능성에서 중근으로, 적분에서 항등식으로 넘어가는 이유를 말로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~7번의 기본·보통 문항을 정확하게 처리하고, 8번에서 접근이 떠오르지 않으면 표시한 뒤 9번을 확인하세요. 초반에 확보한 시간을 후반의 그래프 해석에 사용할 수 있도록, 단순 전개나 적분 계산도 식을 먼저 줄일 수 있는지 살펴보는 것이 좋습니다.

10번 이후는 끝까지 어려움 구간이므로 마지막 문항만을 위해 시간을 남기는 계획은 부족합니다. 각 문항에서 사용할 조건을 적어 보고, 보조함수나 그래프의 윤곽이 잡히지 않으면 다음 문항으로 이동하세요. 다시 돌아왔을 때 바로 이어 풀 수 있도록 부호표와 미해결 조건을 남겨 두는 편이 효율적입니다.

검산에서는 계산을 반복하기보다 조건 누락을 찾으세요. 8번은 증가 조건의 경계, 11번은 경계의 달성 가능성, 12번은 구간 끝점, 14·16번은 중근과 서로 다른 교점의 구별을 확인하세요. 15번의 거리와 변위, 17·18번의 적분 부호, 19번의 좌우 미분계수도 별도로 점검할 항목입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극값과 구간의 최대·최소부터 정리하세요. 도함수의 부호표를 그리고 끝점과 내부 후보를 비교하는 절차를 익힙니다(1·5·12번 대비).
2. 적분의 기본 성질과 적분상수를 복습하세요. 구간별 적분 뒤에는 연속 조건을, 최댓값 조건이 있으면 복원한 함수의 형태를 확인합니다(2·4·9번 대비).
3. 증가와 전칭 조건을 연습하세요. 도함수의 부호, 판별식, 보조함수의 최댓값을 각각 언제 쓰는지 구분하고 경계의 포함 여부도 설명합니다(8·10·11·13번 대비).
4. 넓이와 운동을 묶어 공부하세요. 부호표를 기준으로 적분 구간을 나누고, 속도 그래프에서는 변위와 이동거리를 따로 표시합니다(3·6·7·15·17·18번 대비).
5. 접선·교점·중근의 관계를 익히세요. 접점을 변수로 놓는 방법과 수평선이 극값 높이를 지날 때의 실근 개수 변화를 그려 봅니다(14·16번 대비).
6. 연결 조건과 적분 항등식을 마무리하세요. 좌우 미분계수와 근의 중복도를 점검하고, 적분식을 미분한 뒤 계수를 비교하는 연습을 합니다(19·20번 대비).