성신고등학교
2022년 1학년 1학기 중간고사

성신고 1학년 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

성신고등학교는 울산 중구에 있습니다. 이 시험의 출제 단원은 다항식과 항등식에서 복소수, 이차방정식, 여러가지방정식, 여러가지부등식까지 이어집니다. 다항식 연산만 익히는 데 그치지 않고, 같은 식 변형을 방정식의 근과 나머지 문제에 적용할 수 있어야 합니다.

앞부분은 괄호 처리, 필요한 항의 계수 찾기, 곱셈공식 변형, 나눗셈 관계식처럼 기본기를 확인하는 내용이 중심입니다. 계산을 많이 하는 방법보다 필요한 관계를 먼저 고르는 방법이 유리합니다. 계수만 필요할 때 전체를 전개하거나 근의 대칭식이 필요할 때 근을 직접 구하면 풀이가 불필요하게 길어집니다.

뒷부분에서는 실근의 존재 조건과 근의 부호, 복소수의 거듭제곱, 서로 다른 근의 개수가 함께 등장합니다. 서술·단답형은 17·18번 다음에 객관식 19번이 끼어 있으므로, 번호만 보고 같은 형식이 계속된다고 생각하지 마세요. 문항의 형식과 조건을 먼저 확인하는 것이 풀이 순서를 정하는 출발점입니다.

난이도 분포 — 기본기를 확보한 뒤 조건 연결에 집중

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움 구간도 무조건 암산으로 처리할 내용은 아닙니다. 1번의 중첩 괄호, 5번의 나누는 식 변형, 10번의 허수부분 구별처럼 개념을 알고도 부호나 표현을 놓칠 수 있습니다. 짧은 식을 정확히 적어 계산 실수를 줄이는 편이 좋습니다.

보통 문항에서는 기본 개념을 다른 표현으로 옮기는 단계가 추가됩니다. 11번은 완전제곱식 조건을 변의 관계로 해석하고, 13번은 허근이 만족하는 관계로 거듭제곱을 줄입니다. 18·20번은 서술·단답형이므로 아이디어뿐 아니라 나머지의 형태나 근의 중복을 판단한 근거까지 정리해야 합니다.

어려움은 14·15번에서 연이어 나온 뒤 19번에서 다시 등장합니다. 중간에 막히더라도 뒤쪽에 풀 수 있는 문항이 남아 있습니다. 특히 17번은 자동 분류 기준 쉬움이므로, 앞선 고난도 문항 때문에 서술형 전체를 미뤄 두는 운영은 피하세요.

출제 단원 — 다항식과 항등식이 풀이의 바탕

가장 많이 나온 단원은 다항식이며 항등식이 뒤를 잇습니다. 다항식에서는 계산, 계수, 공식 변형, 인수분해가 나뉘어 출제됐고, 항등식에서는 계수 비교와 나머지, 계수합이 연결됩니다. 같은 연산 문제만 반복하기보다 조건을 식으로 바꾸는 방식별로 연습해야 범위를 고르게 준비할 수 있습니다.

자동 분류 기준 어려움 문항은 여러가지부등식의 14번, 이차방정식의 15번, 복소수의 19번입니다. 출제량이 적은 단원도 고난도 대비에서는 제외할 수 없습니다. 특히 14번은 분류상 여러가지부등식이지만 실제 접근에는 이차방정식의 근과 계수의 관계 및 판별식이 필요하므로 단원 사이의 연결을 함께 공부하세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 중구의 같은 시기 수학(상)

2022학년도 1학년 1학기 중간고사 수학(상)을 치른 중구 학교들과 비교하면, 성신고의 총 문항 수는 지역 평균 20.0문항과 같습니다. 서술·단답형은 3문항으로 지역 평균 4.0문항보다 적습니다. 다만 서술형 개수만으로 풀이 시간을 판단하기보다는 각 문항에서 설명해야 하는 논리의 길이를 확인해야 합니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 성신고가 15%로 지역 평균 12%보다 높으며, 5개교 중 1위입니다. 이는 어려움으로 분류된 문항의 비율 순위입니다. 약사고는 항등식, 울산고는 이차함수가 가장 많은 단원이고, 성신고와 학성여고·다운고는 다항식이 가장 많습니다. 성신고를 준비할 때는 다항식 기본기를 충분히 확보하면서 근의 조건을 결합하는 문제와 복소수 거듭제곱 문제까지 이어서 연습하는 편이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들을 분석상 고난도 문항으로 꼽는 이유는 계산 과정의 길이보다 단계 사이의 연결에 있습니다. 14·15번에서는 식으로 얻은 후보를 원래 조건에 다시 대조해야 하고, 19번에서는 정리된 복소수의 관계를 다음 계산에 활용해야 합니다. 풀이를 복습할 때 계산 줄만 따라 쓰지 말고, 다음 단계로 넘어갈 수 있는 이유를 말로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 기본 연산과 계수 비교 문항을 풀며 시간을 확보하세요. 1~8번은 식을 정리하는 순서를 일정하게 유지하고, 9번처럼 인수분해가 바로 보이지 않는 문항은 표시한 뒤 다음 문항을 확인해도 좋습니다. 계산이 끝난 문항마다 처음부터 다시 푸는 대신 부호, 차수, 필요한 항이 빠지지 않았는지를 짧게 점검하세요.

14·15번에서 풀이가 멈추면 필요한 조건을 적어 두고 뒤쪽으로 이동하세요. 17번은 계수합의 의미를 설명하면 되고, 18번은 나눗셈 관계를 단계별로 보여 주어야 하므로 작성 부담이 다릅니다. 20번 역시 인수분해 이후의 판단을 적어야 합니다. 실제 제한 시간에 맞춰 연습하면서 계산 시간과 답안 작성 시간을 구분해 확보하세요.

조건 점검에서는 14번의 양의 실근, 15번의 실근, 16번의 양수, 20번의 서로 다른 근에 표시하세요. 특히 20번은 인수별로 실근이 있어도 서로 겹치면 요구한 개수가 되지 않습니다. 18번에서는 나누는 식의 차수보다 나머지의 차수가 낮아야 한다는 원칙도 확인해야 합니다. 마지막 점검은 이런 조건을 빠뜨린 문항에 집중하는 것이 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 괄호와 부호를 정확히 처리한 뒤 필요한 차수의 항만 골라 계수를 구하는 연습부터 하세요. 전체 전개와 필요한 항만 계산하는 방법의 풀이 길이도 비교해 보세요(1·2번 대비).
2. 곱셈공식을 변형하고 한 문자를 기준으로 정리해 인수분해하는 연습을 하세요. 주어진 대칭식과 목표식의 공통 구조를 먼저 찾는 습관이 중요합니다(4·8·9번 대비).
3. 나눗셈을 항등식으로 쓰고 계수 비교와 대입 중 알맞은 방법을 고르세요. 계수합은 대입의 의미를 설명하고, 이차식으로 나눌 때는 나머지의 차수까지 써 보세요(3·5·6·7·17·18번 대비).
4. 근과 계수의 관계로 대칭식을 정리한 다음 실근과 부호 조건을 별도로 확인하세요. 후보를 얻는 단계와 후보를 검증하는 단계를 구분해 기록하세요(11·12·14·15번 대비).
5. 복소수의 실수부분·허수부분과 켤레복소수 개념을 정리한 뒤, 주어진 방정식 관계로 거듭제곱을 줄이는 연습으로 확장하세요(10·13·19번 대비).
6. 치환과 인수분해로 방정식을 단순화하고, 양수 조건과 중복 근을 점검하는 서술 답안을 작성하세요. 조건을 제외한 이유까지 문장으로 적은 뒤 제한 시간 안에 다시 풀어 보세요(16·20번 대비).