병점고등학교
2025년 3학년 1학기 중간고사

병점고 3학년 1학기 중간 미적분은 어떤 시험인가

병점고등학교는 경기 화성시에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 출제 단원은 수열의극한과 급수입니다. 수열의 일반항과 부분합, 등비수열과 등비급수의 수렴 조건을 정확히 구별하는 데서 학습을 시작해야 합니다.

초반에는 지수항을 포함한 분수식, 다항식의 차수 비교, 부분분수로 소거되는 급수가 나옵니다. 이후에는 부등식으로 극한을 제한하거나, 기하 조건으로 수열을 만든 뒤 성장 정도를 비교하는 방식으로 확장됩니다. 계산법을 외우는 것과 함께 주어진 조건이 어떤 표현을 요구하는지 읽는 연습이 필요합니다.

후반의 16·21번은 지수항의 극한으로 정의된 함수를 구간별로 해석합니다. 19번은 급수의 수렴 범위를 확인한 뒤 풀이 근거를 써야 하는 서술·단답형입니다. 함수식이나 급수의 합을 얻었다고 끝내지 말고, 그 식을 사용할 수 있는 범위를 다시 확인하세요.

난이도 분포 — 초반부터 시작되는 조건 해석

쉬움으로 분류된 1~3번은 기본 계산의 출발점을 확인합니다. 지수항에서는 가장 빠르게 커지는 항을 기준으로 나누고, 다항식의 비에서는 유한한 극한이 가능하도록 차수를 살펴야 합니다. 부분분수는 유한한 부분합을 먼저 적으면 처음과 마지막에 남는 항을 확인하기 쉽습니다.

보통 문항인 4·5·7번도 단순 대입으로 끝나지 않습니다. 4번은 부분합의 첨자를 맞추고, 5번은 주어진 극한으로 등비수열의 구조를 복원하며, 7번은 항별 곱으로 이루어진 등비급수를 다룹니다. 무엇의 첫째항과 공비를 구하는지 구분하는 것이 중요합니다.

자동 분류 기준 어려움은 6번과 8~21번입니다. 6번에서 오래 막혔다면 7번의 접근 가능성을 먼저 확인하세요. 이 분류가 실제 응시자의 체감 난도나 문항별 소요 시간을 그대로 뜻하지는 않지만, 중반 이후에도 조건 해석을 계속해야 하는 구성이라는 점은 학습과 시간 배분에 반영할 만합니다.

출제 단원 — 수열의 극한과 급수의 표현 전환

수열의극한에서는 같은 극한 계산도 출발점이 다릅니다. 8번은 합의 조건에서 일반항을 꺼내고, 9·11번은 대소 관계를 통해 필요한 극한을 확보합니다. 12·13번은 좌표와 넓이 관계를 먼저 만들어야 하므로, 극한 기호가 있는 마지막 식보다 앞의 조건 정리가 풀이 방향을 결정합니다.

급수에서는 3번의 부분분수와 10번의 부분합 소거를 연결해 연습하세요. 15번은 정수 부분이 같은 항들을 묶고, 17번은 정오각형의 닮음으로 공비를 찾아야 합니다. 합 공식을 알고 있어도 더할 항의 구조를 찾지 못하면 적용할 수 없다는 점이 공통적입니다.

두 단원은 따로 떨어져 있지 않습니다. 5번은 수열의 극한으로 급수를 구성하고, 21번은 등비급수 조건을 함수의 연속성과 연결합니다. 단원별 문제를 푼 뒤에는 같은 첫째항과 공비가 서로 다른 조건에서 어떻게 표현되는지 설명하는 연습을 해 보세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 일반적인 계산 규칙을 적용하기 전에 예외나 구간을 먼저 나누어야 합니다. 풀이가 길어질수록 경우를 나눈 기준을 식 옆에 남겨 두면 검토할 때 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 기본 구조를 정확히 처리하고 6번에서 논리 판단이 길어지면 표시해 두세요. 7번을 확인한 뒤에는 모든 문항을 순서대로 끝내려 하기보다 출발점이 보이는 문제를 골라 진행하는 연습이 필요합니다. 18번처럼 합을 차로 바꾸면 구조가 정리되는 문항도 있으므로 번호만 보고 접근을 미루지 마세요.

서술·단답형 19번을 확인할 시간을 따로 확보하세요. 먼저 급수가 수렴하는 조건과 예외를 적고, 그 범위에서 합 공식을 사용한 뒤 구한 후보를 원래 조건으로 검토해야 합니다. 풀이 연습에서는 계산 시간과 조건을 정리하는 시간을 구별해 기록하고, 근거 문장을 쓰는 데 걸리는 시간까지 포함하세요.

마지막 점검은 조건 누락에 집중하세요. 8번은 항의 양수성, 12번은 중심이 놓이는 사분면, 13번은 삼각형이 성립하는 좌표 조건이 중요합니다. 16번은 경계의 함숫값과 좌우 극한을 구별하고, 20번은 구간 밖의 근이나 경계 교점의 중복을 확인하세요. 21번에서는 연속 조건을 쓴 위치와 원래 지수식의 경계값을 다시 대조하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 지수항과 다항식의 성장 비교를 복습하세요. 분자와 분모를 무엇으로 나눌지 먼저 말하고, 유한한 극한이 가능한 차수 조건을 확인하세요(1·2·5번 대비).
2. 부분합과 일반항의 관계를 연습하세요. 연속된 부분합의 차를 취할 때 첨자를 맞추고, 부분분수로 소거한 뒤 남는 경계항을 적으세요(3·4·8·10·18번 대비).
3. 수렴·발산 명제는 조건과 결론을 구별해 읽으세요. 홀짝에 따라 달라지는 수열을 반례로 검토하고, 등비급수의 공비 조건과 상쇄 예외를 나누세요(6·7·14·19번 대비).
4. 부등식으로 극한을 제한하는 유형을 연습하세요. 목표식에 맞춰 부등식을 변형하고, 근호의 차는 유리화한 뒤 양 끝의 극한을 비교하세요(9·11번 대비).
5. 도형 조건을 수열의 식으로 옮기세요. 점과 직선 사이의 거리, 직각삼각형의 넓이, 정오각형의 닮음을 정리한 뒤 극한이나 급수로 연결하세요(12·13·17번 대비).
6. 정수 부분에 따른 묶음과 구간별 함수를 연습하세요. 구간의 끝점 포함 여부를 표시하고, 부분합의 극한이나 경계의 연속 조건까지 확인하세요(15·16·20·21번 대비).