이산고등학교
2025년 3학년 1학기 중간고사

이산고 3학년 1학기 중간 미적분은 어떤 시험인가

이산고등학교는 경기 화성시에 있습니다. 이 시험은 수열의 극한, 급수, 여러 가지 미분법에서 출제됐으며, 객관식 뒤에 서술·단답형이 이어집니다. 출제 단원명만 보면 미분 계산이 중심으로 보이지만, 실제로는 극한과 도형을 함께 해석하는 준비도 필요합니다.

초반에는 다항식으로 이루어진 수열의 극한, 등비급수의 수렴, 삼각함수의 극한과 곱의 미분법을 확인합니다. 중반부터는 음함수·매개변수·역함수·합성함수처럼 표현 방식에 맞는 도구를 선택해야 합니다. 공식 암기와 함께 어떤 관계를 먼저 식으로 쓸지 판단하는 연습이 중요합니다.

후반에는 도형의 닮음과 접선, 조각함수의 연속, 극한으로 정의된 함수의 미분가능성 등이 연결됩니다. 서술형 19번은 접선 조건을 미분계수로 옮기는 과정이 중심이고, 20번은 넓이가 최대가 되는 이유를 설명해야 합니다. 계산 결과에 이르는 논리를 짧게 적는 연습까지 해 두세요.

난이도 분포 — 초반 기본 계산과 후반 조건 결합

난이도는 자동 분류 기준입니다. 1~6번에서는 기본 극한과 미분, 삼각함수 관계를 정확히 처리하는 것이 우선입니다. 쉬움으로 분류됐더라도 2번의 수렴 예외나 6번의 각의 범위를 놓치면 오답으로 이어질 수 있습니다.

7·8번을 지나면 9번에서 매개변수의 범위와 최솟값의 존재 여부를 함께 따집니다. 이어 10·13번처럼 보통 문항도 섞여 있으므로, 앞에서 막힌 문제를 해결하느라 뒤의 접근 가능한 문제를 놓치지 않도록 하세요.

14~18번은 자동 분류 기준 어려움이 이어지는 구간입니다. 도형을 식으로 옮기거나 여러 조건을 순차적으로 결합하는 시간이 필요합니다. 마지막 서술형까지 모두 같은 방식으로 오래 붙들기보다, 풀이의 출발점이 보이는 문항을 우선 처리하는 운영이 적절합니다.

출제 단원 — 여러가지미분법 중심, 수열과 도형의 연결

여러가지미분법은 가장 많은 문항이 배치된 단원입니다. 다만 이 분류에는 삼각함수의 덧셈정리와 함수의 극한도 포함돼 있습니다. 미분 공식을 반복하는 데 그치지 말고, 기본 항등식으로 식을 변형한 뒤 극한이나 미분법을 적용하는 과정을 묶어서 공부하세요.

수열의극한은 초반 기본 계산과 후반 결합 문항으로 나뉩니다. 7번은 부분합에서 일반항을 찾는 과정이 필요하고, 17·18번은 함수의 성질을 수열 조건과 함께 읽어야 합니다. 20번에서는 좌표 계산 뒤에 도형의 최대 넓이를 일반항으로 구성합니다.

급수에서는 2번의 수렴 조건을 바탕으로 12번의 부분분수·등비급수, 14번의 도형 급수로 확장됩니다. 급수 공식을 적용하기 전에 무엇이 첫째항이고 무엇이 공비인지 확인하는 습관이 중요합니다. 특히 도형에서는 길이의 비와 넓이의 비를 구별해야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 미분법 비중 확대와 후반 극한 문항

작년과 올해 모두 미적분 시험입니다. 총 문항 수는 같지만 서술·단답형은 줄었고, 자동 분류 기준으로 쉬움과 어려움이 늘고 보통은 줄었습니다. 따라서 초반 기본 문제의 정확성과 후반 결합 문제의 대응력을 따로 점검하는 학습이 필요합니다.

여러가지미분법은 작년 9문항에서 올해 12문항으로 늘었습니다. 수열의극한은 7문항에서 5문항, 급수는 4문항에서 3문항으로 줄었습니다. 그러나 올해 수열의극한에서 17·18·20번이 어려움으로 분류되므로, 출제 수가 줄었다고 후반 수열 학습을 가볍게 해서는 안 됩니다.

작년에는 7번에서 어려움이 시작됐고 서술·단답형은 18~20번이었습니다. 올해는 9번에서 어려움이 시작되며 서술·단답형은 19·20번입니다. 작년의 19·20번과 올해의 20번은 어려움으로 분류됩니다. 다음 대비에서는 미분법의 표현별 연습을 충분히 하되, 수열·도형 결합 풀이를 끝까지 서술하는 훈련도 남겨 두세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 해당하는 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 처음 주어진 표현을 계산하기 편한 형태로 바꾼 뒤 추가 조건을 적용해야 합니다. 중간 식을 구한 다음에는 아직 사용하지 않은 조건을 표시해, 풀이를 너무 일찍 끝내지 않는 습관을 들이세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1~8번의 기본 극한과 미분법을 정확히 처리하고, 9번에서 풀이가 길어지면 표시한 뒤 10·13번처럼 접근 가능한 문항을 확인하세요. 막힌 문항에는 시도한 방법을 간단히 남기면 다시 돌아왔을 때 같은 계산을 반복하는 시간을 줄일 수 있습니다.

19번은 자동 분류 기준 보통인 서술형이므로 마지막까지 미뤄 두지 않는 편이 좋습니다. 접선 조건으로 만든 관계식과 미분 과정을 먼저 확보하고, 20번에는 도형 해석을 설명할 시간을 남기세요. 연습할 때에는 계산 시간뿐 아니라 풀이를 문장으로 옮기는 데 걸리는 시간도 확인해야 합니다.

조건 점검은 풀이 시작과 끝에 반복하세요. 2번은 첫째항이 사라지는 예외, 6번은 각의 범위에 따른 부호, 9번은 구간 끝점의 포함 여부가 중요합니다. 16번은 접합점의 연속, 17번은 경계의 미분가능성, 18번은 공비의 부호와 수렴 가능성을 함께 확인해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 극한을 식의 형태별로 정리하세요. 최고차항 비교, 삼각함수 항등식, 로그·지수의 기본 극한을 섞어서 풀고 어떤 변형이 필요했는지 적으세요(1·3·5번 대비).
2. 미분법을 표현 방식에 따라 선택하세요. 곱·음함수·매개변수·역함수를 구별하고, 접선 조건을 미분계수로 옮기는 과정까지 연결하세요(4·8·9·10·19번 대비).
3. 합성 구조를 먼저 표시하는 연습을 하세요. 안쪽 함수와 그 도함수를 구별하고, 차분몫을 새 함수의 미분계수로 읽는 연습을 이어 가세요(11·13번 대비).
4. 수열의 부분합과 급수의 구조를 복습하세요. 이웃한 부분합의 차, 부분분수의 소거, 등비급수의 수렴 예외를 따로 확인하세요(2·7·12번 대비).
5. 도형을 길이·넓이 관계로 바꾸세요. 닮음비와 넓이비, 접선과 반지름의 수직 관계, 점과 직선 사이 거리를 활용해 식을 구성하세요(14·15·20번 대비).
6. 경계 조건과 경우 나누기를 마무리하세요. 연속과 미분가능성을 구분하고, 극한식의 구간 분류와 공비의 부호를 표로 정리한 뒤 남은 조건을 대조하세요(16·17·18번 대비).