예당고등학교
2023년 3학년 1학기 기말고사

예당고 고3 1학기 기말 미적분은 어떤 시험인가

예당고등학교는 경기 화성시에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 도함수의 활용, 여러 가지 적분법, 정적분의 활용입니다. 총 20문항 가운데 객관식은 19문항이고 서술·단답형은 19번 한 문항입니다. 문항 형식과 번호는 등록 분류를 기준으로 안내합니다.

초반에는 거듭제곱함수의 적분, 부분적분, 접선, 도함수의 부호를 이용한 최댓값처럼 풀이 방향을 비교적 곧바로 정할 수 있는 내용이 나옵니다. 기본 공식을 정확히 적용하면서 시간을 확보하는 구간입니다. 다만 넓이와 정적분의 차이, 급수에서 분할 간격을 읽는 방법은 쉬움 문항에서도 확인해야 합니다.

후반에는 적분법을 알고 있다는 것만으로 풀이가 끝나지 않습니다. 단면적을 조건에 따라 선택하거나, 미분 관계로 함수를 복원한 뒤 합성함수의 넓이를 구하고, 절댓값이 붙은 적분을 해석해야 합니다. 식을 정리하는 능력과 그림으로 구간을 판단하는 능력을 함께 점검하는 시험입니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 해석

난이도는 모두 자동 분류 기준입니다. 쉬움 구간에서는 적분 공식과 미분의 기본 해석을 정확히 적용하는 것이 우선입니다. 3번은 합 앞의 계수와 분할 간격을 구별해야 하고, 4번은 그래프가 축 아래에 있는 부분도 넓이에 더해야 합니다. 풀이가 짧다고 조건 확인까지 생략해서는 안 됩니다.

보통 구간에는 위치를 미분해 속력을 구하는 8·12번, 단면적으로 부피를 표현하는 10번, 도형에서 급수의 일반항을 만드는 13번이 있습니다. 계산을 시작하기 전에 어떤 양을 구하고 있는지 분명히 해야 합니다. 19번은 치환적분 후 주어진 점으로 적분상수를 정하는 과정을 설명하는 문항입니다.

어려움 구간은 11번의 삼각함수 적분에서 시작해 14~18번으로 이어집니다. 그래프의 교점 개수, 움직이는 구간의 최대·최소, 누적 적분을 연달아 해석해야 하므로 같은 방식으로 밀어붙이기 어렵습니다. 뒤쪽에 있다고 19번까지 함께 미루지 말고, 풀이 방향이 보이는 문항부터 확보하세요.

출제 단원 — 정적분의 활용이 중심

가장 많은 단원은 정적분의 활용입니다. 급수와 정적분의 관계를 다루는 3·13번부터 넓이, 부피, 이동 거리까지 대상이 다양합니다. 공통적으로 필요한 것은 주어진 상황을 적분식으로 바꾸는 과정입니다. 특히 14·20번처럼 같은 도형 안에서도 경계가 바뀌는 지점을 찾아야 하는 유형을 연습하세요.

도함수의 활용은 접선과 기본 최대·최소에서 출발해 15·16번의 그래프 해석으로 이어집니다. 여러 가지 적분법에서는 부분적분, 삼각함수의 식 변형, 로그함수를 이용한 치환이 확인됩니다. 적분 계산 연습과 활용 문제를 따로 끝내기보다, 식을 세운 뒤 필요한 적분법을 선택하는 흐름으로 연결하는 편이 좋습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 순서를 정한 것이 아니라 풀이 구조를 보고 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 후보와 구간을 정리해야 한다는 것입니다. 식을 길게 전개하기보다 증감표, 교점 표시, 누적량 표 중 문제에 맞는 도구를 먼저 선택하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 계산과 풀이 방향이 바로 보이는 문항을 먼저 확보하세요. 11번에서 적분 변형이 떠오르지 않으면 표시하고 12·13번으로 이동할 수 있습니다. 14~18번에서 머무는 시간이 길어져도 19번의 서술 과정을 작성할 시간을 남기는 계획이 필요합니다.

미분 활용에서는 극값과 최대·최소를 구별하세요. 9번은 양끝 극한, 15번은 닫힌구간의 경계점, 16번은 도함수의 부호 변화와 내부 후보의 포함 여부를 확인해야 합니다. 운동 문제에서는 8번의 가속도 크기와 12번의 이동 거리가 서로 다른 양이라는 점을 분명히 하세요.

적분 활용에서는 부호가 바뀌는 점과 경계식이 바뀌는 점을 표시하세요. 14번은 단면적의 식, 18번은 누적량의 부호, 20번은 교점 전후의 도형 경계가 핵심입니다. 마지막 검토에서는 적분 구간과 위아래 함수의 순서, 적분상수, 후보의 범위 조건을 우선 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 적분법을 정리하세요. 거듭제곱 적분, 부분적분, 삼각함수의 식 변형, 로그 치환을 보고 방법을 선택한 이유까지 설명합니다(1·2·6·11·19번 대비).
2. 도함수의 부호와 최대·최소를 연결하세요. 접선 조건과 증감표를 복습한 뒤, 끝점과 극값 후보를 비교하는 연습으로 확장합니다(5·7·9·16번 대비).
3. 평면 운동에서 위치·속도·속력·가속도를 구별하세요. 성분별 미분과 제곱합 정리를 익히고 속력의 적분으로 이동 거리를 표현합니다(8·12번 대비).
4. 도형과 급수에서 적분식을 세우세요. 분할 간격, 내분점의 좌표, 삼각형의 높이, 단면적을 차례로 표현하는 연습이 필요합니다(3·10·13번 대비).
5. 그래프의 경계와 교점을 표시하세요. 축과의 넓이, 단면적의 선택, 실근 개수, 넓이 이등분 조건을 그림과 식으로 함께 정리합니다(4·14·15·20번 대비).
6. 여러 조건이 연결된 적분 문제를 마무리하세요. 함수 복원에서는 사용한 조건을 점검하고, 절댓값 적분에서는 구간별 넓이와 누적량을 따로 기록합니다(17·18번 대비).