선인고등학교
2022년 1학년 1학기 중간고사

선인고 1학년 수학(상) 중간고사는 어떤 시험인가

선인고등학교는 인천 미추홀구에 있습니다. 이 시험은 2022학년도 1학년 1학기 중간고사 수학(상)으로, 다항식과 항등식에서 출발해 복소수, 방정식, 이차함수와 부등식 관련 조건까지 이어집니다.

앞부분에는 다항식 계산, 계수 비교, 인수분해처럼 출발 방법이 비교적 분명한 문제가 있습니다. 이어서 근과 계수의 관계, 제한된 구간의 최대·최소, 고차방정식의 근 판단으로 연결됩니다. 공식을 기억하는 데서 나아가 어떤 형태로 식을 바꿀지 고르는 연습이 필요합니다.

후반 서술·단답형도 한 가지 수준으로 묶이지 않습니다. 항등식의 구조를 찾아야 하는 19·20번과 그래프의 차 또는 도형의 조건을 식으로 옮기는 21·22번이 함께 있습니다. 어려운 문제에 오래 머무르기 전에 접근 가능한 후반 문항을 확인하는 전략이 유효합니다.

난이도 분포 — 기본 문항 확보 후 조건 연결에 집중

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움 구간은 초반에만 있지 않고 9~12번과 15번에도 이어집니다. 앞 문항에서 계산이 막혔다고 이후 문제까지 어렵다고 판단하지 마세요. 판별식이나 완전제곱식처럼 익숙한 도구로 해결 방향을 잡을 수 있는 문항을 먼저 확보하는 편이 좋습니다.

보통 구간에서는 서로 다른 표현을 연결하는 능력이 필요합니다. 2번은 근의 조건과 곱셈공식, 18번은 치환과 범위 제한을 함께 써야 합니다. 계산 전 조건을 한 줄 적어 두면 풀이 도중 적용 범위가 달라지는 실수를 줄일 수 있습니다.

어려움 구간인 14·19·20번은 조건을 여러 단계에 걸쳐 사용하는 점이 공통적입니다. 14번은 그래프의 방향과 접함을 연결하고, 19·20번은 나눗셈 항등식을 세운 뒤 필요한 정보만 추출합니다. 긴 계산보다 풀이의 첫 구조를 떠올리는 데 시간이 들 수 있습니다.

출제 단원 — 이차함수의 폭과 항등식의 깊이

가장 많은 이차함수는 12·13·14·15·21번입니다. 접점 판단, 구간에서의 최솟값, 여러 조건을 만족하는 함수 결정, 넓이의 최대화, 두 그래프의 차까지 형태가 다양합니다. 꼭짓점만 찾는 연습에 그치지 말고 정의역과 교점 조건까지 함께 설명할 수 있어야 합니다.

항등식은 4·5·19·20번으로, 계수 비교와 나머지정리의 기본부터 계수합 및 다항식의 구조 추론까지 이어집니다. 같은 단원 안에서도 요구하는 생각의 깊이가 달라집니다. 기본 예제를 푼 뒤에는 어떤 대입이 미지수를 줄이는지 직접 고르는 문제로 확장하세요.

복소수와 여러가지방정식은 따로 암기하기보다 연결해서 공부하는 편이 좋습니다. 켤레근, 거듭제곱의 주기, 인수분해 후 남는 이차식의 근 성질이 서로 이어집니다. 18번은 등록 단원이 여러가지부등식이지만 실제 접근은 치환한 사차방정식의 실근 여부와 제한된 범위의 함수값 판단입니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 미추홀구의 구성 차이

같은 2022학년도 1학년 1학기 중간고사 수학(상)을 치른 미추홀구 학교들과 비교하면, 이웃 학교 평균은 총 20.8문항, 서술·단답 2.0문항입니다. 선인고는 총 22문항에 서술·단답 4문항이므로, 후반 풀이를 정리하는 시간까지 확보하는 연습이 필요합니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 선인고 14%로 이웃 학교 평균 15%와 가깝고, 선인고를 포함한 7개교 중 4위입니다. 이 비율만으로 체감 난도를 단정하기는 어렵습니다. 선인고에서는 어려움 문항이 항등식 서술·단답형에 놓여 있다는 구체적인 구성을 함께 봐야 합니다.

이웃 학교의 최다 단원에는 다항식과 이차함수가 나타납니다. 선인고는 이차함수가 가장 많으므로 그래프의 축·교점·최대최소를 여러 표현으로 연결하는 연습이 우선입니다. 이후 항등식에서 대입과 나머지의 차수 제한을 활용하는 문제를 보완하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 해당하는 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 조건을 하나 사용한 뒤 남은 조건으로 후보를 검증해야 합니다. 풀이를 시작하기 전에 조건 옆에 역할을 적고, 끝난 뒤 아직 사용하지 않은 조건이 있는지 점검하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 출발 방법이 바로 보이는 계산형과 기본 개념형을 먼저 해결하세요. 14번에서 여러 후보를 나누는 과정이 길어지면 표시한 뒤 넘어가고, 15번 이후와 서술·단답형도 살펴보는 편이 좋습니다. 특히 21·22번은 조건을 식으로 옮기면 익숙한 최대최소와 연립방정식의 흐름으로 접근할 수 있습니다.

서술·단답형에는 계산 결과만큼 근거를 남기는 습관이 필요합니다. 19번은 각 대입으로 어떤 계수합을 얻었는지, 20번은 실수 조건에서 왜 근을 결정할 수 있는지를 짧게 적어 보세요. 식을 변형한 이유가 드러나면 중간 계산을 검토하거나 멈춘 지점에서 다시 시작하기도 쉽습니다.

검산은 모든 계산을 반복하기보다 조건 중심으로 하세요. 2번의 부호, 12번의 양수 조건, 13·15·18번의 변수 범위, 22번의 길이 대소를 확인하세요. 그래프 문제에서는 접함과 단순히 만남을 구별하고, 나머지 문제에서는 나누는 식과 나머지의 차수를 대조하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 1·3·6번 대비: 공통인수 묶기, 곱셈공식 변형, 공통부분 치환을 연습하고 전개 전 더 짧은 방법을 찾아보세요.
2. 4·5번 대비: 기준 문자를 정한 계수 비교와 나머지의 차수 설정을 익힌 뒤 대입으로 조건을 연결하세요.
3. 7·8·10·16·17번 대비: 켤레복소수, 켤레근, 거듭제곱의 주기, 인수분해 뒤 근의 성질을 묶어서 복습하세요.
4. 2·9·11번 대비: 근이 만족하는 관계식과 판별식, 치환 전후 근의 관계를 말로 설명하며 정리하세요.
5. 12·13·14·15·21번 대비: 축과 구간 끝점, 교점과 접함, 차함수의 근을 그래프로 표시하는 연습을 하세요.
6. 18·22번 대비: 치환한 변수의 범위와 도형에서 얻는 양수·대소 조건을 식 옆에 반드시 적으세요.
7. 19·20번 대비: 항등식에서 유리한 값을 고르는 연습을 하고, 계수합의 범위와 나머지 차수를 확인하며 풀이를 마무리하세요.