단국대학교사범대학부속고등학교
2024년 3학년 1학기 기말고사

단국대학교사범대학부속고 고3 1학기 기말 미적분은 어떤 시험인가

단국대학교사범대학부속고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험의 출제 내용은 여러 가지 미분법과 도함수의 활용, 여러 가지 적분법과 정적분의 활용입니다. 객관식 18문항과 서술·단답형 4문항을 풀어야 하며, 미분과 적분 사이를 오가며 조건을 해석하는 능력이 필요합니다.

초반에는 부정적분의 옳고 그름, 치환적분, 변곡점, 도형의 넓이처럼 접근 방향이 비교적 분명한 문항이 있습니다. 이후에는 접선의 일치, 절댓값 그래프의 교점, 적분으로 정의된 함수의 극값처럼 계산 전에 관계를 정리해야 하는 문제가 이어집니다.

특히 도함수의 부호만 구하고 끝내기 어렵습니다. 극값이 실제로 생기는지, 수평선과 몇 번 만나는지, 접점 후보가 서로 다른 접선을 주는지까지 확인해야 합니다. 풀이를 시작하기 전에 정의역과 최종적으로 세어야 할 대상을 적어 두는 습관이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 자동 분류 기준 어려움 14문항

쉬움 문항도 검산을 생략할 수는 없습니다. 1번은 삼각함수 적분의 부호, 3번은 치환에 따른 적분 구간, 4번은 이계도함수의 부호 변화가 확인 대상입니다. 익숙한 공식이 보이면 바로 대입하기보다 그 공식을 적용할 조건부터 점검하세요.

보통 문항은 극값 조건, 접선, 유리함수의 최대·최소, 유리식 적분으로 구성됩니다. 6번은 접점을 매개변수로 두고 근과 계수의 관계를 쓰는 연결이 필요합니다. 19번은 서술·단답형에 속하지만 유리식을 항별 적분이 가능한 형태로 바꾸는 기본기를 확인하므로 후반에 있다고 미뤄 둘 필요가 없습니다.

어려움 문항이 이어지는 9~18번에서는 풀이의 첫 변환이 중요합니다. 식을 계속 전개하기 전에 보조함수, 그래프, 기하적 넓이 중 어떤 관점이 적절한지 판단해야 합니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이므로 개인별 체감 난도와 같다고 볼 수는 없습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용을 중심으로 적분과 연결

도함수의활용은 접선과 극값뿐 아니라 속력, 방정식의 실근 개수, 평균값 정리까지 폭넓게 묻습니다. 10·18번처럼 방정식을 그래프의 교점으로 옮기는 유형과 17번처럼 근의 정확한 값 없이 위치와 대소 관계를 판단하는 유형을 함께 준비해야 합니다.

적분은 공식을 적용하는 기본형과 다른 개념을 결합한 형태가 함께 나옵니다. 11번은 두 그래프의 위아래 관계를 확인한 넓이 계산이고, 16번은 역함수의 정적분을 원래 함수의 넓이로 해석합니다. 적분식이 보인다고 계산부터 시작하면 중요한 구조를 놓칠 수 있습니다.

단원 표에서 여러가지미분법은 9번에 해당하지만, 그 문항은 적분 관계를 미분해 함수의 성질을 얻는 문제입니다. 반대로 12·15번도 적분으로 정의된 함수를 다룹니다. 단원별 문제집을 끝낸 뒤에는 미분과 적분이 함께 등장하는 유형을 따로 묶어 복습하는 편이 좋습니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 강남구의 같은 시험 조건

같은 2024학년도 3학년 1학기 기말고사 미적분을 치른 강남구 학교들과 견주면, 이 시험은 이웃 학교 평균 23.5문항보다 문항 수가 적고 서술·단답형도 평균 5.0문항보다 적습니다. 자동 분류 기준 어려움 비율은 이웃 학교 평균 66%보다 낮으며, 이 학교를 포함한 3개교 중 2위입니다.

숙명여자고등학교는 정적분의활용이 가장 많은 반면, 이 시험과 경기고등학교는 도함수의활용이 중심입니다. 따라서 이 시험을 준비할 때는 적분 계산량만 늘리기보다 접선·극값·교점의 관계를 먼저 다져야 합니다. 서술·단답형 수가 적더라도 후반 문항의 조건 정리에는 충분한 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 모두 원래 식을 다른 함수나 그래프의 관계로 옮겨야 한다는 공통점이 있습니다. 자동 분류 기준 어려움 문항 가운데 풀이 구조를 고려해 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확정된 순위는 아닙니다. 복습할 때에는 계산 과정보다 보조함수를 선택한 이유를 먼저 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

먼저 1~6번과 8번에서 풀이 방향이 잡히는 문항을 처리하고, 7번에서 막히면 표시한 뒤 다음 문항을 살펴보세요. 중후반에는 어려움 문항이 이어지므로 번호순으로 끝까지 버티는 방식은 부담이 큽니다. 문항을 읽고 접근이 떠오르는지 확인하는 단계와 실제 계산 단계를 나누어 운영하세요.

서술·단답형을 시작할 시간을 따로 확보하세요. 19번은 적분 기본기를 활용해 처리하고, 20·21번은 미분 또는 대칭성으로 식을 줄인 뒤 계산하는 것이 좋습니다. 22번은 보조함수의 증감과 경우 구분에 시간이 들 수 있으므로, 앞선 문항을 검산 없이 서둘러 끝내기보다는 완성 가능한 풀이부터 확보하세요.

검산에서는 정의역, 절댓값, 등호가 성립하는 경계를 우선 확인하세요. 10·18번의 교점 개수는 극점 높이에서 달라지고, 11번은 구간별 위아래 관계가 중요합니다. 13번은 좌표의 미분 기준이 시간인지 각도인지, 21번은 구간 끝이 포함되는지, 22번은 서로 다른 접선을 세었는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 미적분 검산부터 익히세요(1·3·5·19번 대비). 식을 간단히 만든 뒤 적분하고, 부정적분은 다시 미분해 부호를 확인하세요.
2. 증감표와 극값·변곡점 판정을 정리하세요(2·4·8·14번 대비). 도함수와 이계도함수의 역할을 구분해 그래프를 직접 그려 보세요.
3. 접점을 문자로 둔 접선 문제를 묶어 푸세요(6·7·22번 대비). 통과 조건, 기울기 일치, 절편 조건을 각각 식으로 바꾸는 연습이 필요합니다.
4. 방정식을 교점 개수로 바꾸세요(10·17·18번 대비). 정의역을 표시하고 극점과 극한을 이용해 경계 상황을 나누세요.
5. 적분으로 정의된 함수의 미분을 연습하세요(9·12·15·20번 대비). 움직이는 적분 끝과 곱의 미분을 구분하고 양수 인자로 부호 판단을 단순화하세요.
6. 넓이와 대칭성, 운동 해석을 마무리하세요(11·13·16·21번 대비). 그래프의 위아래 관계, 역함수의 넓이, 시간에 대한 미분, 주기와 구간 끝을 함께 점검하세요.