경기고등학교
2024년 3학년 1학기 중간고사

경기고 고3 1학기 중간 미적분은 어떤 시험인가

경기고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험은 수열의 수렴과 발산, 급수의 성질과 합, 여러 가지 미분법, 도함수와 그래프 해석을 다룹니다. 수열·급수의 극한 계산과 미분법 적용을 별개로 끝내지 않고, 조건을 해석해 계산 가능한 형태로 정리하는 능력을 요구합니다.

초반에는 수렴 판정과 음함수 미분처럼 익숙한 개념을 확인합니다. 중반부터는 복소수와 수열의 관계, 내접원에서 얻는 등비 관계, 삼각함수 그래프의 대칭 등 서로 다른 표현을 연결해야 합니다. 식이 복잡해 보여도 무엇을 하나의 대상으로 묶을지 찾는 것이 출발점입니다.

서술·단답형은 미분법의 증명 과정을 다루는 21번과 역함수·극한 조건을 연결하는 22번입니다. 마지막 문항이라는 이유로 모두 같은 난도로 볼 수는 없습니다. 객관식 후반에서 막히더라도 증명의 근거를 정리할 수 있는 21번을 확인하고, 22번의 논리 전개에 필요한 시간을 남기는 운영이 좋습니다.

난이도 분포 — 중반부터 길게 이어지는 어려움

자동 분류 기준 쉬움에 해당하는 1·5·6번은 수열의 기본 성질과 미분법을 점검하는 문항입니다. 다만 6번처럼 개념의 참·거짓을 판단하는 문제는 공식 대입만으로 처리하기 어렵습니다. 명제가 성립하는 방향을 읽고, 반례가 가능한지 확인하는 습관이 필요합니다.

8~10번에서는 복소수의 절댓값 관계, 간격을 둔 항 사이의 비, 판별식에서 얻는 부등식으로 수열을 다시 바라봐야 합니다. 11번에서 보통 문항을 만난 뒤에는 12~20번이 모두 어려움으로 이어집니다. 이 구간은 순서대로 끝까지 붙잡기보다 접근 관계가 보이는 문항부터 처리하는 편이 좋습니다.

보통으로 분류된 21번도 미분 공식을 외우는 것과 증명하는 것이 다르다는 점에서 별도 연습이 필요합니다. 이 난이도 구분은 자동 분류 기준이며, 개인이 느끼는 부담은 그래프 해석과 증명에 얼마나 익숙한지에 따라 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 여러가지미분법과 급수가 중심

여러가지미분법은 출제량이 가장 많고 서술·단답형도 모두 포함합니다. 로그함수와 음함수의 미분에서 출발해 매개변수 곡선의 접선, 역함수의 미분, 합성함수의 미분가능성으로 확장됩니다. 미분 결과를 구한 뒤 그것이 기울기나 대응 관계에서 무엇을 뜻하는지 설명할 수 있어야 합니다.

급수는 수렴 판정만 준비해서는 부족합니다. 도형에서 공비를 찾아야 하는 12번, 각을 기울기로 바꾸는 15번, 주기적 그래프의 교점 개수로 항을 만드는 17번처럼 합을 계산하기 전 단계가 중요합니다. 부분합의 구조를 먼저 보고 등비급수와 부분분수 중 어떤 방법을 쓸지 결정하세요.

수열의극한에서는 지수항의 크기 비교와 대소 관계를 이용한 극한이 함께 등장합니다. 도함수의활용으로 분류된 13번도 삼각함수 그래프의 교점과 대칭을 읽어야 합니다. 단원별 문제 수뿐 아니라 그래프 해석과 조건 변환이 여러 단원에 반복된다는 점을 학습 계획에 반영하세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 서울 지역의 같은 시험과 견주기

같은 2024학년도 3학년 1학기 중간고사 미적분을 치른 서울 지역 학교와 견주면, 경기고의 총 문항 수는 이웃 학교 평균 23.0문항보다 적고 서술·단답형도 평균 5.0문항보다 적습니다. 어려움 비율은 이웃 학교 평균 64%보다 낮으며, 자동 분류 기준 어려움 비율 순위는 3개교 중 2위입니다.

가장 많은 단원은 모두 여러가지미분법으로 같습니다. 다만 이 사실만으로 세 학교의 세부 단원 구성이 같다고 볼 수는 없습니다. 경기고는 급수와 수열의극한에서도 조건 변환이 필요하므로, 미분법 중심으로 공부하되 급수의 도형 활용과 수열의 관계식 해석을 함께 연습하는 것이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 자동 분류 기준 어려움 가운데 풀이 구조를 특히 점검할 만한 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산에 앞서 교점 개수, 치역, 함수의 대응을 확정해야 한다는 것입니다. 막혔을 때는 계산을 더 늘리기보다 아직 확인하지 않은 범위나 경계 조건을 찾아보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음 풀 때는 1~7번과 11번에서 확실히 정리할 수 있는 개념·계산 문항을 우선 처리하세요. 8번에서 복소수의 제곱합 관계가 떠오르지 않거나 10번에서 판별식 조건을 세우지 못한다면 표시하고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 중간 번호에도 어려움이 배치돼 있으므로 번호가 앞이라는 이유로 시간을 계속 쓰지 마세요.

12~20번에서는 도형, 접선, 그래프 개수 문제를 번갈아 만나게 됩니다. 재검토할 때 바로 이어서 풀 수 있도록 그림에 표시한 각, 세운 부등식, 아직 확인하지 않은 경우를 짧게 남기세요. 21번은 공식의 근거를 쓰는 문항이므로 객관식 후반을 모두 해결한 뒤에야 시작한다는 계획은 피하는 것이 좋습니다.

검토할 때는 3번의 밑에 따른 경우 구분, 9번에서 식을 나누기 전 항이 영이 아닌지, 13번과 17번의 끝점 포함 여부를 확인하세요. 14번은 접점의 개수와 서로 다른 접선의 개수를 구별해야 하며, 19·22번은 역함수의 입력과 출력을 바르게 대응시켜야 합니다. 20번의 열린구간 조건도 마지막에 다시 읽어 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 수열과 급수의 수렴을 구분하세요. 일반항의 극한과 부분합의 극한을 각각 적고, 명제의 역이 성립하는지 반례로 점검합니다(1·2·6번 대비).
2. 지수항의 크기 비교와 부등식으로 극한을 정하는 연습을 하세요. 경우를 나눈 기준과 나누는 항의 부호를 먼저 표시합니다(3·8·10번 대비).
3. 급수의 항을 만드는 과정을 연습하세요. 간격을 둔 부분수열, 내접원의 반지름, 기울기와 각의 관계를 합 계산 전 단계로 정리합니다(7·9·12·15번 대비).
4. 미분의 정의와 기본 미분법을 말로 설명하세요. 차분몫의 변화량, 합성·음함수 미분의 인자, 역수 함수의 증명 근거를 확인합니다(4·5·11·16·21번 대비).
5. 그래프의 교점과 접선을 스케치로 판단하세요. 대칭, 주기, 매개변수의 범위, 경계 교점의 중복을 점검합니다(13·14·17·18번 대비).
6. 역함수와 합성함수의 조건을 집중 연습하세요. 입력·출력 대응표와 치역을 먼저 쓰고, 감소성이나 미분가능성이 결론에 쓰이는 위치를 답안에 남깁니다(19·20·22번 대비).