군서고등학교
2022년 3학년 1학기 중간고사

군서고 고3 1학기 중간 미적분은 어떤 시험인가

군서고등학교는 경기 시흥시에 있습니다. 이 시험은 수열의 극한과 급수, 여러가지미분법에 걸쳐 출제됐습니다. 수열의 수렴 판단과 등비급수 계산에서 출발해 지수·로그함수 및 삼각함수의 극한, 미분계수와 미분가능성까지 연결됩니다.

전 문항이 객관식이지만 공식 대입만으로 끝나는 구성은 아닙니다. 미분계수를 알아보도록 극한식을 변형하거나, 도형의 교점을 좌표의 관계식으로 옮겨야 하는 문항이 포함돼 있습니다. 무엇을 계산할지 결정하는 준비 단계도 연습해야 합니다.

앞부분에서 기본 개념을 확인하고 중반에서 식의 변형과 조건 연결을 점검한 뒤, 후반에서 복합적인 해석을 요구하는 흐름입니다. 풀이가 길어지는 문항에 대비하려면 기본 문항을 빠르게 처리하면서도 부호와 수렴 조건을 생략하지 않는 균형이 필요합니다.

난이도 분포 — 후반에 모인 어려움 문항

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움 문항은 초반에 많지만 8번과 10번에도 배치돼 있습니다. 6번이나 7번의 판단 문제에서 막히더라도 뒤의 기본 문항까지 함께 놓치지 않도록, 번호순 풀이에만 매이지 않는 것이 좋습니다.

보통 구간은 단순한 계산량보다 개념을 적용하는 형태가 중요합니다. 9번은 급수의 수렴에서 일반항의 극한을 끌어내고, 11번과 13번은 주어진 식을 미분계수로 읽어야 합니다. 12번은 연속성과 좌우미분계수를 차례대로 확인하는 문제입니다.

15번에서 지수·로그 극한과 상수 조건이 결합하고, 17~20번에서 어려움 문항이 연속됩니다. 끝부분을 남은 시간에 급하게 처리하기보다, 기본 문항을 마친 뒤 조건을 정리할 시간을 확보하는 방식으로 대비하세요.

출제 단원 — 여러가지미분법이 가장 큰 비중

여러가지미분법은 삼각함수의 덧셈정리, 지수·로그함수의 극한, 곱과 몫의 미분법까지 함께 다룹니다. 단원 이름만 보고 도함수를 구하는 계산만 반복하면 6번의 함수 극한 판단이나 20번의 도형 해석을 준비하기 어렵습니다.

급수에서는 합의 성질과 등비급수의 기본형에서 출발해 일반항의 극한, 부분분수, 도형의 넓이로 확장됩니다. 특히 17번과 18번은 급수 공식을 쓰기 전에 일반항이나 공비를 직접 구성해야 하므로, 식을 만드는 과정까지 연습해야 합니다.

수열의극한은 최고차항 비교와 대소 관계, 수렴·발산 판단, 좌표평면 활용으로 구성됩니다. 19번에서는 원과 곡선의 교점 조건을 정리한 뒤 극한을 계산합니다. 기본 극한 계산을 익힌 다음 도형에서 수열을 만드는 문제로 학습 범위를 넓혀 보세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 모두 계산 전에 필요한 대상을 만드는 과정이 있습니다. 17번은 올바른 일반항, 18번은 넓이의 공비, 20번은 각에 따른 넓이식이 그 대상입니다. 분석상 고난도 문항을 복습할 때는 완성된 계산을 외우기보다, 첫 관계식을 선택한 이유를 말로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

먼저 기본 극한과 급수 성질 문항을 처리하며 검산할 여유를 확보하세요. 6번과 7번처럼 여러 진술을 판단하는 문제는 각 진술의 근거를 짧게 표시하고, 판단이 막힌 부분만 남겨 두는 방식이 좋습니다. 앞 문항에서 머문 시간이 길어지면 뒤의 8번과 10번도 먼저 확인하세요.

중반의 11~14번은 식을 길게 전개하기 전에 미분계수의 정의인지, 연속 조건인지, 몫의 미분법인지부터 분류하세요. 15번에서 상수 조건 정리가 막히면 표시하고 16번을 확인한 뒤 돌아오세요. 후반은 관계식이 보이는 문제부터 풀되, 마지막 검토 시간을 모두 소진하지 않도록 합니다.

검토할 조건은 10번의 사분면, 12번의 경계 연속성, 15번의 로그 정의 조건, 16번의 각의 범위, 17번의 첫째항, 19번의 교점이 속한 사분면입니다. 18번에서는 길이의 비와 넓이의 비를, 20번에서는 넓이에 쓰는 각과 극한에서 쓰는 각을 구별하세요. 조건을 식 옆에 적는 습관이 재계산 부담을 줄입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 수열과 급수의 기본 개념을 구분하세요. 최고차항 비교, 대소 관계, 부분합의 극한을 묶어 풀고 각 방법을 선택한 이유를 설명해 보세요(1·3·4·5번 대비).
2. 수렴 조건을 판단하는 연습을 하세요. 부호 교대와 진폭을 나누어 보고, 급수 수렴에서 일반항의 극한으로 이어지는 방향을 확인하세요(7·8·9번 대비).
3. 지수·로그 및 삼각함수의 기본 극한을 표준형으로 바꾸세요. 치환 뒤 남는 배수와 밑변환을 따로 기록하는 훈련이 필요합니다(2·6·15번 대비).
4. 미분계수의 정의를 여러 모양의 극한에서 찾아보세요. 곱과 몫의 미분, 조각함수의 연속·미분가능 조건을 함께 점검하세요(11·12·13·14번 대비).
5. 각의 범위를 이용해 후보를 고르는 연습을 하세요. 삼각함수의 부호와 배각·반각 관계식을 정리한 뒤 원래 범위에 맞는지 확인하세요(10·16번 대비).
6. 부분합에서 일반항을 구하고 유한합의 소거를 먼저 적으세요. 도형 급수에서는 첫 넓이, 길이의 비, 넓이의 공비를 분리해 정리하세요(17·18번 대비).
7. 좌표와 도형을 극한식으로 번역하는 연습으로 마무리하세요. 교점 조건이나 사인법칙에서 필요한 관계식만 뽑아낸 뒤 극한을 계산하세요(19·20번 대비).