동탄고등학교
2023년 2학년 2학기 중간고사

동탄고 고2 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

동탄고등학교는 경기 화성시에 있습니다. 이 시험은 함수의 극한과 연속에서 출발해 미분계수, 도함수와 그 활용까지 다룹니다. 극한값을 구하는 기본 계산뿐 아니라 접선, 평균값 정리, 증감과 극값을 해석하는 과정도 포함됩니다.

초반에는 그래프의 좌우극한 읽기나 접선의 방정식처럼 풀이 방향이 비교적 분명합니다. 이후에는 여러 극한 조건으로 다항식을 정하거나, 조각별 함수의 곱이 연속 또는 미분가능할 조건을 찾아야 합니다. 공식을 기억하는 것에서 나아가 그 공식을 적용할 지점을 골라내는 시험입니다.

객관식에서도 중간 판단을 생략하기 어렵습니다. 특히 그래프의 교점 개수를 세거나 도형의 넓이를 함수로 표현하는 문항은 식을 만드는 데 시간이 걸립니다. 유일한 서술·단답형인 19번 역시 연속 확인과 극값 해석이 이어지므로, 풀이 근거를 나누어 정리하는 준비가 필요합니다.

난이도 분포 — 후반부에 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움인 1~4번에서는 기본 개념을 정확하게 적용하는 것이 우선입니다. 좌우극한을 읽을 때 함숫값과 혼동하지 않고, 유리식의 극한에서 약분과 최고차항 비교를 구분하면 불필요한 계산을 줄일 수 있습니다.

보통 구간도 단순 대입만으로 끝나지는 않습니다. 5번은 평균값 정리로 범위를 구한 뒤 경계의 실현 여부를 확인하고, 9번은 함수 관계식을 미분계수의 정의로 바꿔야 합니다. 8번에서 막히더라도 9번과 12번의 풀이 가능성을 따로 판단하세요.

13~20번은 자동 분류 기준 모두 어려움입니다. 이 구간을 번호 순서대로만 풀면 복잡한 경우 구분에 시간이 묶일 수 있습니다. 조건을 식으로 옮길 수 있는 문항부터 풀고, 그래프 전체를 다시 구성해야 하는 문항은 표시해 두는 운영이 적절합니다.

출제 단원 — 극한을 중심으로 연속과 미분을 연결

함수의극한은 초반 기본형과 후반 응용형을 모두 포함합니다. 4·6번의 약분과 차수 비교가 바탕이고, 8·18·20번에서는 극한 조건이 다항식의 계수나 인수 구조를 제한합니다. 극한 계산과 다항식 결정 문제를 따로 공부하기보다 연결해 연습하는 편이 좋습니다.

함수의연속에 속한 13·16·17번은 자동 분류 기준 모두 어려움입니다. 연결점에서 좌우 값을 맞추는 문제뿐 아니라 매개변수에 따라 교점 개수가 달라지는 상황도 포함됩니다. 연속 단원은 문항 수보다 조건을 나누는 부담에 주목해야 합니다.

미분 영역에서도 도함수 계산만 반복해서는 부족합니다. 7번의 중근과 도함수, 11·15번의 연속성과 미분가능성, 19번의 연결점 극값을 함께 묶어 보세요. 단원 이름이 달라도 같은 경계점 판단이 반복됩니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 경기 지역의 동일 범위 시험

2023학년도 2학년 2학기 중간고사 수학II를 치른 경기 지역 학교들과 비교하면, 동탄고의 문항 수는 지역 평균 20.8문항보다 적고 서술·단답형도 평균 1.5문항보다 적습니다. 그러나 자동 분류 기준 어려움 비율은 55%로 지역 평균 38%보다 높으며, 11개교 중 2위입니다. 문항 수나 서술형 비중만 보고 풀이 부담을 판단하기는 어렵습니다.

가장 많은 단원은 동탄고와 매탄고·수원여자고·수원영신여자고에서 함수의극한입니다. 수원고·효원고·화홍고·곡정고·매원고·유신고는 미분계수와도함수, 권선고는 도함수의활용이 가장 많습니다. 동탄고를 준비할 때는 극한 기본형을 확보한 뒤 다항식 결정과 연속·미분 조건으로 확장하는 연습에 무게를 두세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 공통점은 중간 계산의 결과가 다음 판단의 출발점이라는 점입니다. 각 단계에서 얻은 조건과 아직 확인하지 않은 조건을 구분해 적으면, 계산을 마친 뒤에도 남아 있는 검증을 놓치지 않을 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음 풀 때는 1~7번에서 기본 개념과 풀이 흐름을 확보하세요. 8번에서 바로 식이 정리되지 않으면 표시하고 9번, 12번처럼 접근이 보이는 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 실제 시험 시간에 맞춰 연습하되, 첫 순회에서는 답까지 갈 수 있는 문항과 조건 정리에 시간이 필요한 문항을 구별하는 데 집중하세요.

후반부에서는 19번의 답안을 정리할 시간을 미리 남겨 두세요. 연속 확인과 증감 분석을 구분하고 연결점도 변화표에 넣으면 서술 순서가 명확해집니다. 15~17번의 그래프와 경우 구분에 오래 머무르기 전에, 18·20번에서 인수 조건을 바로 얻을 수 있는지도 살펴보세요.

마지막 검토에서는 5번의 경계 실현 여부, 12·13번의 열린구간, 15번의 좌우 미분계수, 16번의 근이 속하는 구간을 확인하세요. 특히 곱의 연속성을 다루는 문항에서 한 인자를 무조건 나누지 마세요. 그 인자가 사라지는 경우를 별도로 남겨 두는 습관이 필요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극한 기본형부터 정리하세요. 좌우극한 읽기, 공통인수 약분, 무한대에서 차수 비교를 구분해 풀이의 첫 줄을 작성합니다(1·3·4·6번 대비).
2. 극한 조건을 인수와 계수 관계로 번역하세요. 함수 전체를 전개하기 전에 필요한 결합식이나 중근 구조를 찾습니다(8·18·20번 대비).
3. 미분계수의 정의와 중근 조건을 연결하세요. 함수 관계식의 증분을 정리하고 다항식과 도함수가 함께 사라지는 의미를 설명합니다(7·9·11번 대비).
4. 연속과 미분가능성을 순서대로 확인하세요. 연속 후보를 먼저 찾고 좌우 미분계수를 비교하며, 곱에서 사라지는 인자의 경우도 남겨 둡니다(13·15·17번 대비).
5. 그래프를 구간별로 나누는 연습을 하세요. 절댓값의 가지, 부호가 바뀌는 지점, 근이 실제로 놓이는 범위를 표로 정리합니다(12·14·16번 대비).
6. 도함수의 활용은 조건과 결론을 함께 적으세요. 평균값 정리의 적용 조건, 넓이의 부호, 연결점의 극값을 검토하며 풀이를 완성합니다(2·5·10·19번 대비).