동탄고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

동탄고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

동탄고등학교는 경기 화성시에 있습니다. 이 시험의 출제 단원은 부정적분, 정적분, 정적분의 활용, 도함수의 활용, 함수의 연속입니다.

초반에는 도함수로 원함수를 복원하거나 닫힌구간의 최솟값을 구하는 기본 문항이 나옵니다. 이후 정적분으로 정의된 함수의 증가 조건, 극값과 교점의 관계처럼 개념을 다른 표현으로 바꾸는 문항으로 이어집니다.

객관식만 있다고 해서 풀이가 짧은 시험은 아닙니다. 후반부에서는 절댓값, 정수 조건, 실근 개수와 미분가능성을 함께 살펴야 합니다. 풀이를 시작하기 전에 무엇의 부호를 조사할지 결정하고, 그 기준을 끝까지 유지하는 것이 중요합니다.

난이도 분포 — 10번부터 이어지는 어려움 구간

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1·2·4·5·6번입니다. 적분상수 결정, 극값 후보와 끝값 비교, 이동 거리, 기함수의 적분처럼 적용할 개념이 비교적 분명합니다. 이 구간에서는 계산 실수를 줄이면서 후반부에 쓸 시간을 확보하세요.

보통 문항은 3·7·8·9번입니다. 교점 개수를 극값으로 해석하고, 위치를 미분해 가속도를 구하며, 적분함수의 증가 조건을 피적분함수의 부호로 옮기는 연결이 필요합니다.

10~20번은 자동 분류 기준 모두 어려움입니다. 도형의 부피 최적화에서 시작해 적분 등식, 절댓값과 극값, 실근 개수의 변화로 이어집니다. 한 문항에서 막혔을 때 다음 문항도 어렵다는 이유로 계속 붙잡기보다, 구조가 보이는 문항을 골라 풀어야 합니다.

출제 단원 — 정적분과 도함수 활용이 중심

가장 많은 정적분 단원은 단순한 다항식 적분으로 끝나지 않습니다. 13·16번은 적분 등식을 미분한 뒤 함수 사이의 관계를 복원하고, 14·15번은 적분으로 정의된 함수의 극값을 분석합니다.

도함수의활용에서는 2·3번의 최대·최소와 교점 해석이 10번의 도형 최적화, 17번의 평균변화율 조건, 20번의 중근과 미분가능성으로 확장됩니다. 도함수가 영이 되는 점을 찾는 것과 실제 극값을 판정하는 것을 구별해야 합니다.

부정적분 11번은 두 함수의 제곱합을, 정적분의활용 19번은 속도의 부호 변화를 다룹니다. 함수의연속 18번도 근의 개수를 그래프로 세는 과정과 연결됩니다.

문항별 정리

문항별 난이도 표기는 자동 분류 기준입니다. 풀이의 출발점과 조건 확인에 초점을 맞춰 정리했습니다.

작년 시험과 비교 — 문항 수는 같고 후반부 부담은 유지

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 작년의 서술·단답형 19·20번과 달리 올해는 전 문항 객관식입니다. 자동 분류 기준 쉬움은 늘고 보통은 줄었으며, 어려움 문항은 소폭 늘어 기본 구간과 고난도 구간의 구분이 뚜렷해졌습니다.

단원 중심은 작년 도함수의활용에서 올해 정적분으로 옮겨갔습니다. 정적분은 작년 5문항에서 올해 7문항으로 늘었고, 도함수의활용은 8문항에서 6문항으로 줄었습니다.

작년에는 10번 뒤의 11번이 자동 분류 기준 보통이었지만 올해는 10~20번이 연속으로 어려움입니다. 다음 시험 대비에서는 앞부분의 기본 문제를 안정적으로 끝내는 연습과, 후반부에서 미분·적분을 오가며 조건을 정리하는 연습을 함께 하세요.

같은 지역 학교와 비교 — 경기 지역에서 높은 어려움 비중

같은 2024학년도 2학년 2학기 기말고사 수학II를 치른 경기 지역 학교들과 비교하면, 이웃 학교의 평균 문항 수는 21.8문항, 서술·단답형은 1.1문항입니다. 동탄고는 20문항에 서술·단답형이 없지만 자동 분류 기준 어려움 비율은 55%로, 이웃 학교 평균 37%보다 높습니다.

자동 분류 기준 어려움 비율 순위는 11개교 중 2위입니다. 표의 이웃 학교들은 가장 많은 단원이 도함수의활용인 반면 동탄고는 정적분입니다. 이 순위는 문항 분류 비율의 비교이며, 학생의 실제 체감 난이도를 그대로 뜻하지는 않습니다.

경기 지역 기출로 연습할 때는 도함수 활용의 그래프 분석을 익히되, 동탄고 시험의 적분 등식과 적분함수 극값 유형도 충분히 풀어보세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항의 공통점은 후보를 구한 뒤에도 판정 과정이 남는다는 점입니다. 극값 후보, 근 개수의 변화 지점, 미분가능성의 예외를 구별해야 합니다. 이용자 투표로 확정한 순위가 아닌 분석상 고난도 문항으로 살펴보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

먼저 1~9번에서 적용할 개념이 보이는 문항을 안정적으로 해결하세요. 3번의 양수 조건, 5번의 이동 거리, 7번의 가속도처럼 마지막에 구하는 대상을 표시해 두면 검산하기 좋습니다. 계산을 줄일 수 있는 4·6번에서는 정의와 대칭성을 우선 확인하세요.

10번 이후에는 조건을 식이나 그림으로 옮길 수 있는지부터 판단하세요. 12번은 넓이의 차를 합치는 구조, 13·16번은 미분 후의 함수 관계가 보이면 진행할 수 있습니다. 접근 기준을 잡지 못한 문항은 표시하고 넘어가 뒤쪽 문항을 읽을 시간을 확보하세요.

마지막 점검은 부호와 경계 조건에 집중하세요. 14·15·20번에서는 도함수가 영인 점의 좌우 부호, 17번에서는 열린구간의 끝점 제외, 18번에서는 분할 경계의 포함 여부를 확인하세요. 19번은 방향 전환 횟수와 속도의 근 개수를 구별하고, 위치 변화량에 절댓값을 붙이지 않았는지 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부정적분과 미분계수의 기본 관계부터 정리하세요. 적분상수 결정과 미분계수 형태의 극한을 묶어 복습하세요(1·4번 대비).
2. 도함수 부호표로 최댓값·최솟값과 교점 개수를 설명하는 연습을 하세요. 도형에서는 닮음으로 변수를 줄인 뒤 미분하세요(2·3·10번 대비).
3. 이동 거리·위치 변화량·가속도의 정의를 구별하세요. 속도의 근과 부호 변화가 일치하지 않는 경우도 함께 확인하세요(5·7·19번 대비).
4. 정적분의 구간 합치기, 대칭성, 절댓값의 구간 분할을 연습하세요. 적분 전에 구조를 살피는 이유를 말로 설명하세요(6·9·12번 대비).
5. 적분 등식을 미분하고 곱의 미분 꼴로 다시 묶는 유형을 복습하세요. 대입 조건으로 상수를 정하는 단계를 생략하지 마세요(11·13·16번 대비).
6. 적분함수의 증가·극값 조건을 피적분함수와 도함수의 부호로 연결하세요. 절댓값이 있으면 부호 관계를 나누세요(8·14·15번 대비).
7. 평균변화율, 실근 개수, 미분가능성 조건을 그래프와 근의 중복도로 번역하는 연습을 마무리하세요. 경계와 중복 후보를 별도로 검토하세요(17·18·20번 대비).