동탄고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

동탄고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

동탄고등학교는 경기 화성시에 있습니다. 이 회차는 미분계수와 도함수, 도함수의 활용, 부정적분, 정적분과 그 활용을 다룹니다. 객관식 18문항 뒤에 서술·단답형 2문항이 배치되어 있으며, 끝부분에서는 함수의 형태를 정하거나 넓이를 구하는 논리를 직접 정리해야 합니다.

시험의 중심은 계산 결과를 얻기까지 필요한 조건 해석입니다. 극값으로 교점 개수를 판단하고, 절댓값이 붙은 그래프의 미분가능성을 살피며, 접선과 곡선의 위치 관계를 부등식으로 해석합니다. 도함수를 구한 뒤 부호표와 개략적인 그래프까지 연결하는 연습이 필요합니다.

적분에서도 원시함수 계산만으로 끝나지 않습니다. 적분 구간을 조합하거나 정적분으로 정의된 함수를 미분해 성질을 읽어야 합니다. 특히 서술형은 앞에서 사용한 개념을 다시 연결하므로, 기본 계산의 정확도와 조건을 설명하는 능력을 함께 준비하세요.

난이도 분포 — 후반 객관식과 서술형에 집중

자동 분류 기준 쉬움인 1·3번은 적분상수 결정과 닫힌구간에서의 최대·최소를 확인합니다. 초반에는 보통 문항도 함께 있으므로 번호가 앞이라는 이유만으로 계산을 서두르면 안 됩니다. 4번의 함수 관계식, 5번의 역함수 넓이 해석처럼 접근 방법을 먼저 정할 문항이 있습니다.

10번에서는 함수식을 직접 구하기보다 적분 구간을 조합해야 합니다. 이어지는 11번은 보통으로 분류되므로, 10번에서 막혔을 때 다음 문항으로 이동할 여지가 있습니다. 반면 12~18번은 어려움이 이어져 근의 중복, 극값, 교점 개수의 조건을 연속해서 처리해야 합니다.

19·20번도 자동 분류 기준 어려움입니다. 객관식을 모두 마친 뒤에만 서술형을 보겠다는 계획은 부담이 될 수 있습니다. 어려움 분류는 실제 풀이 시간의 순서를 보장하지 않으므로, 각 문항의 첫 접근이 보이는지에 따라 풀이 순서를 조정하세요.

출제 단원 — 도함수의 활용을 중심으로 적분과 연결

가장 많이 나온 도함수의활용은 최대·최소부터 교점 개수, 절댓값 함수, 접선 부등식까지 폭이 넓습니다. 7번에서 극값과 교점 개수를 연결한 뒤 15·16번에서는 대칭성이나 근의 부호까지 함께 판단합니다. 도함수의 영점을 찾는 데서 멈추지 말고, 그 점을 기준으로 원래 함수가 어떻게 움직이는지 설명할 수 있어야 합니다.

정적분은 적분 끝에 변수가 있는 식과 양 끝이 상수인 식을 구분하는 것이 출발점입니다. 6·17·19번은 미분으로 관계를 단순하게 만들지만, 9번의 정적분 항은 상수로 두고 처리합니다. 10번처럼 함수식을 몰라도 구간의 합과 차로 접근할 수 있는 유형도 함께 연습하세요.

정적분의활용에서는 역함수 그래프의 대칭, 속도와 이동 거리, 절댓값으로 정의된 함수의 넓이, 접하는 두 그래프의 넓이가 나옵니다. 넓이나 거리로 해석할 때는 적분식보다 먼저 구간과 부호를 확정해야 합니다. 부정적분에 속한 8번도 도함수 그래프와 극값을 연결하므로 단원별 계산 연습만으로 준비를 끝내기 어렵습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 모두 중복된 근을 해석하는 힘이 중요합니다. 다만 17번은 도함수 부호 변화, 18번은 곡선과 접선의 차, 20번은 접점과 넓이라는 서로 다른 역할을 맡습니다. 중근이라는 말을 암기하는 데서 그치지 말고 어떤 식의 근이며 그래프에서 무엇을 뜻하는지 연결해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음 풀 때는 기본 계산과 접근이 바로 보이는 문항을 확보하세요. 1·3번에서 계산을 정확히 마치고, 6·9번에서는 적분 항을 미분할지 상수로 둘지 먼저 구분하는 것이 좋습니다. 10번의 구간 조합이 떠오르지 않으면 표시하고 11번으로 이동해 흐름을 이어 가세요.

후반부에서는 식을 길게 전개하기 전에 필요한 조건을 짧게 적어 두세요. 12번은 절댓값을 붙이기 전의 근의 중복, 16번은 가운데 근의 부호와 정수 범위의 경계, 17번은 실제 부호 변화, 18번은 부등식의 적용 범위가 점검 대상입니다. 계산이 막혔을 때는 전개를 반복하기보다 빠뜨린 조건이 있는지 돌아보세요.

19·20번은 풀이를 쓸 시간까지 남겨야 합니다. 연습할 때 객관식에 머문 시간과 서술형 작성 시간을 구분해 기록하고, 서술형에 들어가기 전에 전체 문항을 훑는 시점을 정해 보세요. 마지막 검토에서는 적분상수, 적분 구간의 경계, 넓이의 부호와 함께 후보를 제외한 이유가 답안에 남았는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부정적분과 닫힌구간의 최대·최소부터 정리하세요. 적분상수 결정과 끝점 비교를 빠뜨리지 않는 계산 습관을 만듭니다(1·3·8번 대비).
2. 함수 관계식과 정적분 등식의 형태를 구분하세요. 미분계수의 정의를 적용하는 식, 적분 끝에 변수가 있는 식, 정적분 전체가 상수인 식을 나누어 풉니다(4·6·9·19번 대비).
3. 증가·감소표를 수평선의 교점 개수로 연결하세요. 극값을 지나는 경계와 근의 부호까지 표시하는 연습을 합니다(2·7·15·16번 대비).
4. 절댓값과 중근이 그래프에 미치는 영향을 정리하세요. 미분가능성, 극값의 존재, 접선과의 위치 관계를 각각 설명해 봅니다(12·13·17·18번 대비).
5. 적분 구간 조합과 넓이 해석을 따로 연습하세요. 구간의 합과 차, 역함수의 대칭, 속도의 부호, 구간별 함수 선택을 그림으로 먼저 나타냅니다(5·10·11·14번 대비).
6. 서술형은 조건 해석부터 검산까지 직접 작성하세요. 차수 판단과 상수함수 검토, 접점의 중근 조건, 위아래 관계를 빠짐없이 설명하는 답안을 만듭니다(19·20번 대비).