동탄고등학교
2024년 2학년 2학기 중간고사

동탄고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

동탄고등학교는 경기 화성시에 있습니다. 이 시험의 출제 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 단원의 정의를 확인하는 문항과 여러 조건을 연결하는 문항이 함께 들어 있습니다.

앞부분에서는 다항함수 미분, 그래프의 좌우극한, 유리화와 연속성 등 기본 도구를 확인합니다. 반면 후반부에서는 극한 조건으로 다항식을 정하거나, 접선을 좌표 관계로 옮기고, 함수의 부등식을 접촉 조건으로 해석해야 합니다. 공식 적용 뒤에 무엇을 더 확인해야 하는지 아는지가 중요합니다.

모두 객관식이어도 풀이가 짧다는 뜻은 아닙니다. 18번은 교점 개수의 변화를 추적하고, 19번은 거리 최소화와 기하적 관계를 거쳐 극한으로 넘어갑니다. 풀이의 중간 목표를 나누어 적는 연습이 긴 문항에서 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 후반부에 이어지는 어려움 문항

쉬움 문항은 미분 공식과 미분계수의 정의, 그래프의 극한, 연속성의 기본 적용을 다룹니다. 10번도 쉬움으로 분류되어 있으므로, 앞에서 막힌 문항이 있더라도 뒤의 기본형까지 살펴보는 운영이 필요합니다.

보통 문항에서는 극한식을 정리하는 방법을 고르거나 도함수의 그래프로 조건을 판정해야 합니다. 특히 7번의 구간 전체 증가 조건과 8번의 극대·극소 존재 조건은 서로 다르므로 같은 방식으로 처리하면 안 됩니다.

어려움 문항이 11번부터 끝까지 이어집니다. 자동 분류 기준은 실제 학생의 체감과 다를 수 있으므로 모든 후반 문항을 같은 시간으로 다루기보다, 접근식이 보이는 문항부터 해결하세요. 14·16번처럼 접선 조건을 식으로 옮길 수 있는 문항도 먼저 확인할 만합니다.

출제 단원 — 함수의 극한과 도함수 활용이 중심

함수의극한은 가장 많은 7문항입니다. 그래프에서 극한을 읽는 기본형에서 출발해 다항식 결정, 무한대에서의 극한, 교점 개수 함수, 거리와 결합한 극한까지 이어집니다. 계산법만 반복하기보다 극한을 취하는 대상이 무엇인지 먼저 구별해야 합니다.

도함수의활용은 6문항으로, 증가와 극값뿐 아니라 접선의 반복 과정과 수직 관계, 부등식으로 주어진 함수의 형태까지 다룹니다. 도함수를 구한 뒤 그래프나 직선의 조건으로 연결하는 연습이 필요합니다.

미분계수와도함수에서는 13번의 구간별 미분가능성이, 함수의연속에서는 17번의 여러 지점 연속 조건이 주의 대상입니다. 연속과 미분가능을 별개로 확인하는 습관은 단원 구분을 넘어 후반부 풀이의 바탕이 됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 후반 집중과 객관식 구성

작년과 같은 수학II 시험이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 11문항에서 10문항으로 줄었고 쉬움은 늘었지만, 올해도 절반이 어려움에 해당합니다. 서술·단답은 작년 1문항에서 올해는 없는 구성으로 바뀌었습니다.

함수의극한은 작년 8문항에서 올해 7문항, 도함수의활용은 5문항에서 6문항으로 바뀌었습니다. 미분계수와도함수 및 함수의연속의 문항 수는 같습니다. 작년에는 8·10번부터 어려움이 섞였고 올해는 11~20번에 이어져 있으므로, 기본 문항 확보 후 긴 조건 해석에 시간을 남기는 훈련이 필요합니다.

같은 지역 학교와 비교 — 경기 지역의 어려움 비중

같은 2024학년도 2학년 2학기 중간 수학II를 치른 경기 지역 학교들과 비교하면, 동탄고는 20문항으로 지역 평균 20.6문항보다 적습니다. 서술·단답은 없으며 지역 평균은 1.7문항입니다. 자동 분류 기준 어려움 비율은 50%로 지역 평균 38%보다 높고, 11개교 중 2위입니다.

함수의극한이 가장 많은 학교가 여럿 있지만 화홍고와 효원고는 미분계수와도함수, 수원고는 도함수의활용, 고색고는 함수의연속이 중심입니다. 동탄고 학생은 극한의 계산법에 더해 접선과 도함수 조건을 연결하는 연습을 해야 합니다. 문항 수가 적고 서술형이 없다는 이유만으로 후반부 풀이 시간을 줄여 잡기는 어렵습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건을 식으로 바꾼 뒤 적용 범위를 다시 확인해야 한다는 공통점이 있습니다. 자동 분류의 어려움 문항 중 풀이 구조를 기준으로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확정된 난도 순서는 아닙니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

앞부분에서는 기본 계산을 마친 문항에 지나치게 오래 머물지 마세요. 4번의 유리화나 8번의 근 위치 조건에서 막히면 표시하고 10번까지 먼저 확인한 뒤 돌아오는 방식이 좋습니다. 정확한 풀이를 확보하면서 후반부를 읽을 여유를 남기는 것이 목적입니다.

11번 이후에는 문항을 읽고 첫 관계식을 세울 수 있는지부터 판단하세요. 접선식을 바로 쓸 수 있는 문항과 그래프의 경우를 정리해야 하는 문항을 구별하면 재접근 순서를 정하기 쉽습니다. 18번에서 경우를 나누기 시작했다면 경계 높이를 메모해 두어 돌아왔을 때 처음부터 다시 세지 않도록 하세요.

검토할 때는 8번의 열린구간, 13번의 연결점 양옆 부호, 15번의 음의 무한대, 17번의 분모 영점과 경계점, 19번의 거리식 부호를 우선 확인하세요. 20번은 대입 조건을 만족한 것과 전 구간 부등식을 만족한 것이 다르므로 마지막 검증까지 남겨 두어야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분 공식과 정의를 먼저 정리하세요. 기본 미분, 증분의 부호, 곱의 미분에서 어떤 정보가 쓰이는지 말로 설명해 보세요(1·3·10번 대비).
2. 극한식의 형태에 따라 방법을 고르세요. 유리화, 발산 함수로 나누기, 인수정리를 적용하는 이유를 구분해 연습하세요(4·6·11번 대비).
3. 연속 조건을 지점별로 표로 만드세요. 함수값·좌극한·우극한을 적고 미분가능성이 추가되면 좌우미분계수를 비교하세요(5·9·13·17번 대비).
4. 도함수 그래프와 구간 조건을 연결하세요. 증가 조건과 극값 존재 조건을 비교하고 열린 끝점의 포함 여부를 표시하세요(7·8번 대비).
5. 접선의 식을 일반적인 접점으로 세우세요. 반복 과정은 점화식으로, 일치와 수직 조건은 기울기·절편 관계로 옮겨 보세요(12·14·16번 대비).
6. 그래프를 거쳐 극한이나 부등식으로 돌아오는 연습을 하세요. 교점 개수 변화표, 거리 최소화, 차이 함수의 부호를 각각 정리한 뒤 시간을 재고 다시 풀어 보세요(15·18·19·20번 대비).