동탄고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

동탄고 고1 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

동탄고등학교는 경기 화성시에 있습니다. 이 시험의 출제 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 뜻부터 그래프와 합성 조건을 결합한 문제까지 이어지며, 경우의 수에서는 조건을 식과 선택 과정으로 바꾸는 능력을 확인합니다.

모두 객관식이지만 계산 결과만 빠르게 얻는 방식으로는 후반부를 처리하기 어렵습니다. 구간별 함수의 치역을 연결하거나, 합성의 결과에서 원래 입력을 거꾸로 찾는 문제가 있어 풀이의 방향을 먼저 정해야 합니다. 그래프와 대응표는 계산을 시작하기 전에 조건을 정리하는 도구입니다.

앞부분의 함수 판정과 점근선 읽기를 안정적으로 처리한 뒤, 중반의 치환과 반복 합성을 거쳐 후반의 복합 조건으로 넘어가는 구성입니다. 기초 개념을 익히는 단계와 조건을 결합하는 단계를 나누어 공부하되, 마지막에는 전체 시험을 풀면서 풀이 전환을 연습하는 것이 좋습니다.

난이도 분포 — 뒤쪽에 이어지는 어려움 문항

난이도는 자동 분류 기준이며 비중은 반올림한 값입니다. 1~6번은 함수의 정의, 곱의 법칙, 역함숫값, 유리함수의 점근선과 대칭점을 다룹니다. 익숙한 개념을 정확히 적용하되 함수가 같다는 조건을 정의역 전체의 조건으로 읽어야 합니다.

7~12번은 그래프와 역함수의 교점, 여사건, 일대일대응, 합성함수의 치환과 반복을 다룹니다. 보통 문항이어도 범위와 합성 순서를 잘못 읽으면 풀이가 길어집니다. 13~22번은 어려움 문항이 이어지므로 막힌 문제를 표시하고 풀이 구조가 보이는 문제부터 처리하는 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 합성함수와역함수가 중심

합성함수와역함수는 그래프 대칭, 치환, 반복 대응, 유한집합의 역함수까지 폭이 넓습니다. 합성식을 전개하는 연습만으로는 부족합니다. 안쪽 함수의 치역이 바깥 함수의 입력 범위를 제한한다는 점과, 역함수 조건을 원래 함수의 대응으로 바꾸는 과정을 함께 익히세요.

무리함수에서는 13·16·18번이 어려움으로 분류됐습니다. 증가성으로 합성 조건을 줄이거나, 제곱 전 부호를 확인하거나, 대칭을 반복해 그래프를 확장하는 문제가 이어집니다. 순열조합의 15·19번과 함수의 20번은 모두 무엇을 먼저 고정해 세어야 하는지 판단하는 연습으로 연결할 수 있습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 기초 구간이 줄고 중간 단계가 확대

두 해 모두 수학(하)이며 총 문항과 응답 형식은 같습니다. 자동 분류 기준 쉬움은 12문항에서 6문항으로 줄고, 보통은 1문항에서 6문항으로 늘었습니다. 어려움은 9문항에서 10문항으로 늘어, 기초 확인 뒤 바로 고난도로 넘어가기보다 중간 단계의 풀이를 안정적으로 수행하는 준비가 중요해졌습니다.

가장 많은 단원은 순열조합에서 합성함수와역함수로 바뀌었습니다. 순열조합은 6문항에서 4문항으로 줄고 합성함수와역함수는 4문항에서 6문항으로 늘었으며, 나머지 단원은 각각 4문항으로 같습니다. 작년 어려움은 14~22번, 올해는 13~22번에 배치됐습니다. 다음 시험 대비에서는 기본 유형 이후 치환과 그래프 해석을 묶어 푸는 연습을 충분히 하세요.

같은 지역 학교와 비교 — 화성시의 같은 과목 기말고사

2024학년도 1학년 2학기 기말고사 수학(하)를 치른 화성시 이웃 학교의 평균은 총 20문항, 서술·단답 2.5문항, 자동 분류 기준 어려움 비율 58%입니다. 동탄고는 총 22문항으로 문항 수가 많고 서술·단답은 없으며, 어려움 비율은 45%입니다. 어려움 비율 순위는 3개교 중 2위이며 능동고와 비율이 같습니다.

한백고와 능동고의 최다 출제 단원은 순열조합인 반면 동탄고는 합성함수와역함수입니다. 동탄고 학생은 경우의 수를 연습하면서도 함수의 입력·출력 관계를 여러 단계로 추적하는 훈련에 무게를 두세요. 비율만으로 체감 난도를 단정하기보다, 모두 객관식인 구성에 맞춰 풀이 선택과 조건 확인을 빠르게 반복하는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건을 한 번 변환한 뒤에도 원래 조건과의 연결을 유지해야 한다는 공통점이 있습니다. 치환 범위, 대응의 중복 여부, 그래프 구간을 기록하는 습관이 도움이 됩니다. 이용자 투표로 난도 순위가 확인된 것이 아니라 풀이 구조를 바탕으로 선정한 분석상 고난도 문항입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

1~6번에서는 핵심 개념을 확인하고 풀이를 짧게 마무리하는 것을 목표로 하세요. 점근선이나 대칭점을 바로 읽을 수 있는데도 식을 모두 전개하면 시간을 쓰기 쉽습니다. 7~12번에서는 풀이가 보이지 않을 때 그래프, 치환, 대응표 중 어떤 도구를 쓸지 먼저 정하세요.

13~22번을 번호순으로 끝까지 붙잡는 방식은 피하는 것이 좋습니다. 계단 설계의 경우의 수, 문자 배열, 함수의 개수처럼 세는 구조가 보이는 문항부터 처리할 수도 있습니다. 식을 세웠지만 경우가 정리되지 않는 문제는 현재 조건을 남겨 두고 이동하면 다시 돌아왔을 때 이어 풀기 쉽습니다.

마지막 검토에서는 계산보다 조건을 점검하세요. 9·14번은 구간별 치역의 겹침과 빈틈, 13·16번은 제곱 전 부호와 치환 범위, 18·22번은 경계점의 중복, 21번은 점근선에 가까워지는 값과 실제로 갖는 값의 차이를 확인하세요. 최대·최소는 후보의 크기뿐 아니라 실제로 그 값을 갖는지도 확인해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 정의와 그래프 읽기부터 정리하세요. 같은 함수의 조건, 점근선, 대칭점을 말로 설명한 뒤 필요한 식만 세우는 연습을 합니다(1·4·5·6번 대비).
2. 정의역과 치역을 구간으로 적으세요. 일대일대응에서는 각 부분이 일대일인지 확인하고 전체 치역에 겹침과 빈틈이 없는지 검토합니다(9·14번 대비).
3. 합성함수는 치환 범위를 먼저 쓰세요. 최댓값 문제는 바깥 함수의 제한된 입력 범위를, 방정식은 중간 함숫값의 후보부터 확인합니다(10·11·13번 대비).
4. 반복 대응과 역함수 조건을 화살표와 표로 정리하세요. 순환 구조를 찾고, 가능한 대응을 원래 조건에 되돌려 검토합니다(7·12·17번 대비).
5. 경우의 수는 세는 대상을 먼저 고정하세요. 여사건, 폭의 종류와 배치, 제한이 많은 자리, 같은 함숫값의 묶음을 구별해 풀이를 비교합니다(2·8·15·19·20번 대비).
6. 그래프 조건을 결합하는 연습으로 마무리하세요. 교점의 부호 조건, 대칭으로 얻는 반복, 절댓값에 따른 구간 분리, 고정점과 원상을 각각 그림에 표시합니다(16·18·21·22번 대비).