나루고등학교
2026년 3학년 2학기 중간고사

나루고 3학년 2학기 중간 기하는 어떤 시험인가

나루고등학교는 경기 화성시에 있습니다. 이번 기하 시험의 출제 내용은 이차곡선, 평면벡터, 공간도형, 공간좌표에 걸쳐 있습니다. 포물선의 초점부터 공간에서의 수직 관계까지 범위가 넓어, 특정 단원만 준비하기보다 기본 개념을 고르게 점검해야 합니다.

초반에는 초점의 좌표, 대칭이동, 벡터의 성분 연산처럼 적용할 개념이 비교적 뚜렷합니다. 중반부터는 방향벡터로 각을 해석하거나 입체도형 안에서 필요한 평면을 찾는 과정이 더해집니다. 자동 분류 기준 쉬움 문항에서도 부호나 축의 방향을 잘못 읽으면 계산 전체가 달라집니다.

후반의 분석상 고난도 문항은 계산량만으로 구별되지 않습니다. 높이를 구하기 전에 직각을 증명하거나, 내적을 계산하기 전에 내심의 위치를 정하는 준비 단계가 필요합니다. 객관식 시험이지만 풀이의 근거를 짧게 적는 습관이 검산과 시간 관리에 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 기본 확인 뒤 후반의 조건 연결

쉬움 구간은 1~7번과 9~12번입니다. 포물선과 쌍곡선의 기본 성질, 정사영의 길이, 공간좌표와 벡터 성분을 확인합니다. 풀이 방향이 보이는 문항부터 정확히 처리해 후반에 생각할 여유를 확보하세요. 쉬움이라는 자동 분류를 계산 검토를 생략해도 된다는 뜻으로 받아들이면 안 됩니다.

보통 문항은 8번과 13~20번, 22번에 있습니다. 특히 13~18번에서는 내적, 평행 조건, 공간의 수직과 정사영으로 사고의 대상이 바뀝니다. 직전 문제의 공식을 기계적으로 이어 쓰기보다, 무엇의 각이나 넓이를 구하는지 먼저 구분해야 합니다.

어려움 문항은 21·23·24번으로 끝부분에 모여 있습니다. 다만 22번은 자동 분류 기준 보통이므로, 21번에서 막혔다고 뒤쪽을 모두 미뤄 두지 마세요. 구와 좌표축의 접촉을 거리 조건으로 바꾸면 접근할 수 있는 문항입니다.

출제 단원 — 평면벡터와 공간도형의 높은 비중

가장 많은 평면벡터는 성분 연산에서 시작해 방향벡터, 평행 조건, 내적, 자취까지 이어집니다. 4·12번의 계산이 익숙하더라도 23번에서는 도형을 먼저 해석해야 합니다. 성분을 대입하는 연습과 성분을 스스로 만드는 연습을 함께 해야 이 단원의 범위를 충분히 대비할 수 있습니다.

공간도형에서는 꼬인 위치와 각의 정의뿐 아니라 정사영과 삼수선의 정리가 연결됩니다. 5번의 길이 정사영과 17번의 넓이 정사영을 구별하고, 20·21번에서는 평면에 수직인 선과 평면 안의 수직선을 각각 표시해 보세요. 눈에 보이는 모양보다 수직을 보장하는 조건이 중요합니다.

이차곡선은 초점과 접선의 기본형에서 타원의 정의를 활용하는 19·24번으로 이어집니다. 공간좌표는 대칭이동, 내분, 거리, 구의 접촉 조건을 확인합니다. 공간좌표에 어려움 문항은 없지만 거리 공식을 정확히 쓰는 능력은 다른 도형 문제를 정리할 때도 도움이 됩니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 해당하며, 분석상 고난도 문항으로 살펴볼 가치가 있습니다. 공통점은 공식을 쓰기 전에 도형의 구조를 정리해야 한다는 것입니다. 계산을 시작하기 전 수직의 근거, 좌표의 기준, 거리 관계 중 무엇이 필요한지 짧게 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음 풀 때는 1~7번과 9~12번에서 확실히 해결할 수 있는 문항을 처리하세요. 8번의 공간 각 해석에 오래 걸리면 표시하고 다음으로 이동하는 방식이 좋습니다. 초반에는 식을 길게 전개하기보다 초점, 대칭의 기준, 방향벡터를 정확히 읽었는지 확인하는 것이 효율적입니다.

중반의 13~20번은 각과 수직, 정사영이 번갈아 등장합니다. 풀이를 시작할 때 구하는 대상이 벡터 사이의 각인지 직선 사이의 예각인지 표시하세요. 17번은 꼭짓점의 정사영을, 20번은 밑면의 수선을 먼저 그려 두면 계산 중 길이의 역할이 뒤섞이는 것을 막을 수 있습니다.

후반에는 21번을 해결하지 못했더라도 22번을 확인하고 23·24번으로 진행하세요. 검토할 때는 10번의 좌표 부호 조건, 15번의 예각 조건, 22번의 좌표축 접촉, 24번의 사분면 조건을 우선 점검하세요. 실제 제한 시간에 맞춰 모의 풀이를 하고, 막힌 문제로 돌아갈 여유를 따로 남겨 두는 연습이 필요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 좌표와 성분을 정리하세요. 대칭이동·내분·거리와 벡터 연산을 짧은 풀이로 정확히 수행한 뒤 부호 실수를 점검하세요(3·4·7·9·12번 대비).
2. 이차곡선의 표준형과 정의를 연결하세요. 포물선의 초점과 평행이동, 쌍곡선의 접선, 타원의 거리 합을 말로 설명하고 식으로 옮기세요(1·10·11·19번 대비).
3. 방향벡터와 내적을 함께 연습하세요. 벡터 사이의 각과 직선 사이의 예각을 구별하고, 평행 조건을 계수 비교로 정리하세요(6·13·14·15번 대비).
4. 공간의 위치 관계와 수직 근거를 그려 보세요. 평행한 직선으로 각을 옮기고, 평면 안의 수직 관계와 삼수선의 정리를 연결하세요(2·8·16·20·21번 대비).
5. 정사영과 자취의 조건을 변환하세요. 길이와 넓이의 정사영을 구별하고, 벡터의 크기 조건 및 구의 접촉을 거리의 식으로 나타내세요(5·17·18·22번 대비).
6. 도형의 해석을 먼저 하는 응용을 연습하세요. 내심을 좌표로 만드는 과정과 타원·원의 접선 조건을 연결하는 과정을 계산 전에 적어 보세요(23·24번 대비).