동탄고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

동탄고 2학년 2학기 기말 확률과통계는 어떤 시험인가

동탄고등학교는 화성시에 있습니다. 이 시험의 범위는 확률밀도함수와 연속확률변수의 확률, 정규분포와 이항분포의 정규근사, 표본평균의 분포와 모평균의 추정입니다. 모두 객관식이지만 풀이 중간에는 그래프와 조건식을 스스로 구성해야 합니다.

기본 문항에서는 정규분포곡선의 위치와 퍼짐, 확률밀도함수 아래의 넓이, 표본평균의 평균과 분산을 확인합니다. 이 개념들이 중반 이후에는 대칭인 구간 찾기, 움직이는 구간의 확률 비교, 여러 분포를 연결하는 문제로 확장됩니다. 개념별 공식만 외웠다면 같은 정규분포 단원 안에서도 접근이 달라져 멈출 수 있습니다.

시험을 준비할 때에는 표준정규분포표를 읽는 속도와 그림을 그리는 습관을 함께 길러야 합니다. 확률밀도함수의 높이와 확률, 모표준편차와 표본평균의 표준편차를 구별하는 것이 출발점입니다. 분포를 선택한 이유를 짧게 적으며 풀면 계산이 길어져도 대상을 혼동하는 실수를 줄일 수 있습니다.

난이도 분포 — 중반의 그래프 해석과 후반의 연결 문제

자동 분류 기준의 쉬움 문항인 1·4번은 각각 곡선의 성질과 밀도함수의 넓이를 묻습니다. 보통 문항에도 등차수열 조건을 확률에 연결하는 6번, 같은 확률을 갖는 구간으로 평균을 찾는 10번이 있어 기계적인 표준화만으로 처리하기는 어렵습니다. 계산 전에 조건을 해석하는 짧은 단계가 필요합니다.

분석상 고난도 문항이 마지막에만 놓인 구조는 아닙니다. 7번에서는 서로 다른 분포의 구간을 표준화해 비교하고, 12·13·14번에서는 넓이와 대칭성 또는 구간의 위치를 판단합니다. 이 구간에서 막히더라도 뒤에 있는 15·16·17·18번까지 먼저 확인하는 운영이 유리합니다.

19·20·21·22번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 앞서 쓴 개념을 다시 사용하되 확률변수나 그래프의 역할이 바뀝니다. 끝부분을 읽을 시간을 남기고, 이미 구한 확률이나 표준편차를 다음 단계의 어떤 값으로 사용할지 표시하는 연습이 필요합니다.

출제 단원 — 정규분포를 중심으로 넓이와 추정을 연결

정규분포에서는 곡선의 대칭성을 쓰는 유형과 이항분포를 정규분포로 근사하는 유형이 함께 나옵니다. 같은 길이의 구간이 어디에 놓이는지 보는 7·10번, 구간 확률이 최대가 되는 위치를 찾는 14번을 연결해 공부하세요. 표준화 이전에 평균을 중심으로 구간을 배치하는 사고가 공통입니다.

통계적추정은 표본평균의 분포와 신뢰구간으로 나뉩니다. 3·16·21번에서는 표본의 크기에 따라 분산과 표준편차가 어떻게 달라지는지 알아야 하고, 8·17·18번에서는 신뢰구간의 전체 길이와 중심을 구별해야 합니다. 전체 길이와 오차한계를 혼용하면 식을 맞게 세워도 마지막 관계가 어긋납니다.

확률변수와확률분포에서는 밀도함수의 그래프 아래 넓이가 중심입니다. 4·9번의 기본 도형 넓이에서 출발해 12번의 미지수 관계, 20번의 절댓값 그래프로 확장됩니다. 그래프의 높이를 확률로 읽지 않고, 구간과 도형을 함께 표시하는 연습이 이 단원 전체에 도움이 됩니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 계산을 시작하기 전의 표현이 중요합니다. 19번은 확률변수의 이름과 의미, 20번은 꺾이는 지점과 넓이, 22번은 대칭 기준과 그래프 모양을 먼저 정리해야 합니다. 풀이가 막히면 수치를 다시 계산하기보다 지금 계산하는 대상과 그 대상의 조건을 다시 읽으세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 곡선의 기본 성질, 표준화, 신뢰구간처럼 방법이 바로 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 7번에서 같은 확률을 만드는 구간이 떠오르지 않거나 12·13·14번에서 그림이 정리되지 않으면 표시하고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 모든 객관식을 번호 순서대로 완성해야 한다는 생각은 피하세요.

후반의 19·20·21·22번을 읽고 구조를 잡을 시간을 따로 남기세요. 특히 19번은 확률을 구한 뒤 다시 분포를 설정하고, 21번은 서로 다른 표본의 크기를 반영해야 합니다. 같은 계산을 반복하는 것처럼 보여도 새 변수가 등장하면 평균과 표준편차를 다시 적어 두는 것이 안전합니다.

검토할 때에는 8·17번의 신뢰구간 전체 길이, 16번의 총합과 평균의 변환, 20번의 매개변수 범위를 우선 확인하세요. 정규분포표를 이용한 문항에서는 색칠한 영역이 중앙인지 꼬리인지도 다시 보세요. 식과 그림이 같은 사건을 나타내는지만 확인해도 부호와 여사건 처리에서 생긴 오류를 발견할 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 곡선과 넓이의 기본 해석부터 정리하세요. 대칭축·퍼짐을 읽고 밀도함수의 전체 넓이와 부분 넓이를 구별합니다(1·4·9번 대비).
2. 대칭인 구간을 같은 그림에 옮기는 연습을 하세요. 꼬리 확률과 등차수열 조건을 구간 넓이 관계로 바꾸고, 표준화한 구간끼리 비교합니다(5·6·7·10번 대비).
3. 정규분포의 면적을 재구성하세요. 수평선 아래 직사각형을 분리하고 일정 길이 구간의 위치에 따른 확률을 설명합니다(13·14번 대비).
4. 이항분포를 설정한 뒤 정규근사로 넘어가세요. 성공 횟수와 최종 점수의 관계, 개별 관측값과 성공 개수의 관계를 말로 설명합니다(2·15·19번 대비).
5. 표본평균의 분산과 표준편차를 구분하세요. 총합 조건을 평균 조건으로 옮기고 서로 다른 표본 크기의 효과를 비교합니다(3·16·21번 대비).
6. 신뢰구간의 중심과 길이를 분리해서 정리하세요. 길이의 상한, 길이의 비, 양 끝점의 관계를 각각 식으로 세웁니다(8·17·18번 대비).
7. 매개변수가 들어간 그래프를 직접 그리세요. 넓이 조건으로 후보를 찾은 뒤 허용 범위를 확인하고, 대칭으로 바뀐 그래프의 모양까지 점검합니다(12·20·22번 대비).