능동고등학교
2023년 1학년 1학기 중간고사

능동고 고1 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

능동고등학교는 경기 화성시에 있습니다. 이 시험은 다항식의 연산과 인수분해에서 항등식과 나머지정리, 복소수, 이차방정식, 이차함수까지 다룹니다. 객관식에서 기본 개념과 응용을 확인하고 서술·단답형에서 풀이의 연결을 요구하는 구성입니다.

초반에는 나머지정리의 대입, 완전제곱식으로 고친 이차함수, 복소수의 계산처럼 익숙한 방법을 바로 적용할 수 있습니다. 다만 중반부터는 판별식과 항등식, 근과 계수의 관계와 곱셈 공식처럼 서로 다른 개념이 연결됩니다. 공식만 외웠는지보다 어느 조건에 어떤 공식을 쓸지 판단하는 과정이 중요합니다.

후반에서는 계산을 시작하기 전의 정리가 필요합니다. 16번은 흩어진 조건을 하나의 곱으로 연결하고, 17번은 그래프의 접촉을 두 함수의 차로 표현합니다. 서술·단답형은 식을 세운 근거까지 적는 연습이 필요하므로, 객관식만 반복해서 풀고 대비를 마치지 않는 편이 좋습니다.

난이도 분포 — 기본 계산 이후 조건 연결에 대비

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움 구간에서도 부호와 정의역을 확인해야 합니다. 6번의 합에 관한 부호 조건이나 8번의 서로 다른 교점 조건을 생략하면, 계산 방법을 알고도 마지막 판단을 틀릴 수 있습니다. 기본 문항은 빠르게 풀되 조건을 확인하는 습관까지 자동화하세요.

보통 구간에서는 조건을 다른 표현으로 바꾸는 연습이 필요합니다. 9번은 항상 접한다는 조건을 매개변수에 대한 항등식으로, 13번은 인수분해 가능성을 자연수 사이의 관계로 옮깁니다. 12번에서 풀이가 막히더라도 뒤의 보통 문항으로 진행할 수 있도록 번호 순서에 얽매이지 마세요.

16~20번은 어려움 문항이 이어지는 구간입니다. 다항식, 이차함수, 나머지정리, 근과 계수의 관계로 소재가 바뀌므로 같은 계산 방법을 계속 밀어붙이기 어렵습니다. 각 문항에서 먼저 쓸 핵심 관계를 짧게 적고, 그 관계로 풀이가 이어지는지 확인하는 방식이 도움이 됩니다.

출제 단원 — 이차함수 중심, 다항식과 항등식도 연결

가장 많이 나온 이차함수는 한 가지 유형에 머물지 않습니다. 2번과 14번의 제한된 범위에서의 최대·최소, 8번과 9번의 교점과 접촉, 17번의 공통 접선 조건, 20번의 움직이는 구간까지 다룹니다. 축과 꼭짓점을 구하는 기본기를 다진 뒤 조건이 달라질 때 판단 기준이 어떻게 바뀌는지 비교하세요.

다항식과 항등식은 다른 단원의 풀이 도구이기도 합니다. 16번의 곱셈 공식 변형은 19번의 근의 세제곱을 다룰 때에도 필요하고, 10번에서 익힌 나머지의 차수 설정은 18번의 서술 과정으로 이어집니다. 복소수는 3번의 기본 연산을 끝낸 뒤 12번의 주기와 합까지 따로 연습해야 합니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 경기 지역의 난이도와 구성

같은 2023학년도 고1 1학기 중간고사 수학(상)을 치른 경기 지역 학교들의 평균은 총 20.8문항, 서술·단답형 2.4문항, 자동 분류 기준 어려움 비율 30%입니다. 능동고는 전체 문항 수가 이 평균보다 적고 서술·단답형은 많으며, 어려움 비율은 같습니다. 어려움 비율 순위는 11개교 중 6위입니다.

단원 구성에서는 능동고처럼 이차함수가 가장 많은 학교도 있고, 다항식이나 항등식, 여러가지방정식이 가장 많은 학교도 있습니다. 능동고 대비에서는 이차함수의 축과 접촉 조건을 우선 다지되, 후반 서술·단답형에 나오는 나머지정리와 근과 계수의 관계까지 풀이를 직접 작성하는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류와 풀이 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 주어진 조건을 그대로 계산하기보다 유리한 형태로 바꾸어야 한다는 점입니다. 계산이 막히면 새로 전개하기 전에 아직 쓰지 않은 조건과 현재 식을 연결할 방법부터 찾아보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

초반 기본 문항에서는 긴 전개보다 대입과 공식 변형을 우선하세요. 5번의 계수 합이나 10번의 높은 차수 때문에 계산이 길어 보이더라도, 필요한 값만 구할 수 있는지 살펴보면 시간을 줄일 수 있습니다. 12번에서 묶는 규칙이 보이지 않으면 표시한 뒤 보통 문항부터 마무리하세요.

서술·단답형을 객관식이 모두 끝난 다음에야 읽는 방식은 피하는 것이 좋습니다. 18번은 나머지의 형태와 대입 관계, 19번은 근의 합과 곱, 20번은 축과 끝점의 위치를 적을 공간과 시간이 필요합니다. 모의 풀이에서는 서술 과정을 실제로 작성하고 마지막 조건 검토까지 포함해 시간을 재세요.

조건 확인은 문항별로 구체적으로 하세요. 7번은 최고차항과 판별식의 엄격한 부등호, 9번은 항상 성립한다는 말, 15번은 제곱으로 치환한 문자의 범위가 핵심입니다. 18번에서는 원래 다항식과 곱해진 식을, 20번에서는 원래 함수와 구간의 최솟값으로 정의한 함수를 구분해 적으면 혼동을 줄일 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 나머지정리의 대입부터 이차식으로 나눈 나머지까지 연결하세요. 나머지의 차수를 먼저 쓰고 곱해진 식의 대입값을 반영하는 연습을 하세요(1·10·18번 대비).
2. 다항식의 소거, 인수분해, 곱셈 공식 변형을 정리하세요. 개별 미지수를 구하지 않고 필요한 합과 곱을 얻는 방법을 설명해 보세요(4·5·6·16번 대비).
3. 판별식과 항등식의 역할을 구분하세요. 서로 다른 교점, 접촉, 모든 매개변수에서의 성립을 각각 어떤 조건으로 바꾸는지 연습하세요(7·8·9·17번 대비).
4. 이차함수의 축과 구간을 함께 그리세요. 고정 구간의 최대·최소를 익힌 뒤 움직이는 구간에서 더 먼 끝점이 바뀌는 모습을 살펴보세요(2·14·20번 대비).
5. 근과 계수의 관계에 세제곱의 합 공식을 연결하세요. 치환한 문자의 범위와 실수 조건으로 후보를 걸러내는 이유까지 쓰세요(15·19번 대비).
6. 복소수의 기본 연산 뒤 주기적으로 묶는 합을 연습하세요. 계수가 붙은 항은 주기만 같다고 모두 상쇄되지 않는다는 점을 확인하세요(3·12번 대비).