능동고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

능동고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

능동고등학교는 경기 화성시에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 범위는 순열조합, 함수의 뜻과 대응, 합성함수와 역함수, 유리함수, 무리함수입니다. 경우의 수 계산과 함수의 그래프 해석을 함께 준비해야 하는 시험입니다.

초반에는 조합 계산, 약수의 개수, 합성함수의 함숫값처럼 익숙한 절차를 적용하는 문제가 나옵니다. 중반부터는 일대일대응의 조건이나 역함수의 대응 관계를 읽어야 하고, 후반에는 여러 조건을 묶어 교점이나 함수의 개수를 판단합니다. 기본 계산만 반복해서는 후반의 풀이 방향을 잡기 어렵습니다.

서술·단답형도 모두 같은 성격은 아닙니다. 18번은 역함수 조건을 원래 함수의 조건으로 바꾸는 출발점이 명확한 반면, 19번은 반복 합성의 규칙을 찾고 20번은 경우를 나누는 근거를 설명해야 합니다. 풀이의 첫 줄을 어떻게 쓸지까지 연습해 두는 것이 좋습니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 연속된 어려움

자동 분류 기준 쉬움 구간인 1~6번은 기본 개념의 정확성을 확인합니다. 다만 3번의 첫 자리 제한, 5번의 정의역, 6번의 평행이동 방향처럼 짧은 조건이 풀이를 바꿀 수 있습니다. 쉬운 구간에서도 계산만 보고 서두르지 말고 조건에 표시하는 습관이 필요합니다.

7~10번은 보통 구간으로, 공역과 치역의 일치, 항등함수가 되는 원소, 선택 인원의 제한, 역함수의 대응을 해석합니다. 11~17번은 자동 분류 기준 어려움이 연속됩니다. 특히 그래프 문제와 경우의 수 문제가 번갈아 나오므로 한 풀이 방식에만 머무르지 않고 생각을 전환해야 합니다.

18번은 서술·단답형이지만 보통으로 분류됩니다. 객관식 후반에서 막혔을 때 이 문항으로 옮겨 해결할 수 있는 내용을 먼저 적는 전략이 가능합니다. 난이도 분류는 자동 분류 기준이므로 개인의 강점에 따라 실제 체감 순서는 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 순열조합과 함수의 비중, 유리함수의 부담

순열조합은 기본 조합부터 조건부 선택, 행과 열의 짝짓기까지 연결됩니다. 함수 단원도 같은 함수의 뜻에서 출발해 일대일대응, 항등함수, 조건을 만족하는 함수의 개수로 넓어집니다. 두 단원 모두 앞부분의 정의를 후반의 복합 조건에 적용하는 연습이 중요합니다.

유리함수는 출제량만 보면 가장 많은 단원이 아니지만, 해당 문항이 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 대칭과 평행이동을 읽는 11·12번, 반복 합성을 다루는 19번은 접근 방식이 다릅니다. 그래프의 표준형 변형과 식의 규칙 발견을 함께 준비하세요.

무리함수에서는 정의역·치역을 읽는 기본형과 교점을 분석하는 응용형의 차이가 큽니다. 15·16번은 제곱하기 전의 부호와 정의역을 먼저 확보해야 합니다. 18번에서는 역함수의 식을 전부 구하기보다 대응 관계를 바꾸는 것이 효율적인 출발점입니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 화성시의 함수와 경우의 수 구성

같은 2024학년도 1학년 2학기 기말 수학(하)를 치른 화성시 학교와 비교하면, 이웃 학교의 평균 문항 수는 21.0문항, 서술·단답형은 1.0문항입니다. 능동고는 전체 문항 수는 적지만 서술·단답형은 더 많아, 계산 결과를 내는 연습과 풀이를 쓰는 연습을 함께 해야 합니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 능동고가 45%로 이웃 학교 평균 58%보다 낮고, 3개교 중 2위입니다. 동탄고와 표시 비율은 같지만 문항 수와 형식이 다릅니다. 이 비율만으로 체감 부담을 판단하기보다 능동고의 후반 연속 배치와 서술 요구를 함께 살펴보세요.

한백고는 순열조합, 동탄고는 합성함수와역함수가 가장 많은 단원인 반면 능동고는 순열조합과 함수가 함께 중심을 이룹니다. 능동고 대비에서는 조건을 만족하는 대응의 개수를 세는 연습과, 그래프에서 교점 조건을 읽는 연습을 균형 있게 배치하는 것이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 난도가 확정된 문항이 아니라 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산보다 조건의 적용 범위를 정리하는 일이 먼저라는 점입니다. 풀이가 막히면 전개를 늘리기 전에 구간, 대응, 경우를 눈에 보이게 정리해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

1~6번에서는 기본 절차를 정확하게 적용해 시간을 확보하고, 7~10번에서는 조건을 짧게 표기하며 진행하세요. 계산은 끝났는데 대응이나 정의역 검토를 하지 않은 상태로 넘어가지 않도록 합니다. 확신이 서지 않는 문항은 확인할 조건을 메모해 두면 다시 볼 때 도움이 됩니다.

11~17번은 자동 분류 기준 어려움이 이어지므로, 막힌 문항에서 새로운 접근이 떠오르지 않으면 표시하고 이동하세요. 서술·단답형 18번을 먼저 확인해 쓸 수 있는 풀이를 확보한 뒤 19·20번에 필요한 시간을 남기는 방식으로 모의 연습을 해 보세요. 실제 시험 시간이 확인되지 않았으므로 고정된 분 단위 배분보다는 풀이 순서를 점검하는 편이 적절합니다.

마지막 검토에서는 7번의 공역과 치역 일치, 12번의 이동 방향, 15·16번의 근호식 부호와 경계, 17번의 공통근, 20번의 조건 적용 대상을 우선 확인하세요. 서술 답안에는 식을 변형한 이유와 경우를 제외한 근거가 남아 있어야 풀이를 스스로 검증하기도 쉽습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 조합과 곱의 법칙부터 정리하세요. 순서 구별, 첫 자리 제한, 빈 선택 제외를 말로 설명하고 계산하는 연습을 합니다(1·2·3·9·13번 대비).
2. 함수의 정의를 대응표로 확인하세요. 같은 함수, 항등함수, 일대일대응을 구별하고 공역과 치역이 일치하는 이유를 적습니다(5·7·8·10번 대비).
3. 조건부 함수 개수를 경우별로 세어 보세요. 먼저 고정되는 대응과 자유롭게 정할 대응을 나누고 충돌하는 경우를 제외합니다(14·20번 대비).
4. 유리함수의 표준형과 무리함수의 시작점을 그리세요. 역함수와 이동 전후의 중심, 정의역·치역을 함께 표시합니다(6·11·12·18번 대비).
5. 교점과 실근을 구간별로 정리하세요. 제곱 전 부호, 끝점 포함 여부, 접점과 공통근을 따로 검토하는 연습을 합니다(15·16·17번 대비).
6. 합성 문제를 서술로 마무리하세요. 대입 순서를 설명하는 기본형에서 시작해 역수로 규칙을 찾는 반복 합성까지 연결하고, 초기 단계가 맞는지 검산합니다(4·18·19번 대비).