경화여자고등학교
2025년 3학년 1학기 기말고사

경화여자고 3학년 1학기 기말 미적분은 어떤 시험인가

경화여자고등학교는 경기 광주시에 있습니다. 이 시험의 출제 단원은 여러 가지 미분법, 도함수의 활용, 여러 가지 적분법입니다. 몫·합성함수·음함수·역함수·매개변수 미분에서 접선, 극값, 그래프 해석으로 이어지고, 정적분의 성질과 치환·부분적분도 다룹니다.

앞부분에서는 공식을 정확히 적용하는 힘을 확인합니다. 그러나 중반부터는 접선을 매개변수 방정식의 해로 바꾸거나, 역함수의 대칭성을 거리 문제에 적용해야 합니다. 공식이 떠오르더라도 무엇을 변수로 두고 어떤 조건을 조사할지 정하지 못하면 풀이가 길어질 수 있습니다.

모두 객관식이지만 풀이 기록은 필요합니다. 특히 후반에는 절댓값을 씌운 그래프와 수평선의 교점 개수처럼 경우를 나누는 문제가 이어집니다. 증가·감소표, 경계값, 정의역을 간단히 적어 두는 습관이 계산을 되풀이하는 일을 줄여 줍니다.

난이도 분포 — 기본 계산 뒤에 이어지는 그래프 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 초반에 많이 놓여 있습니다. 1~6번은 미분 공식, 접선, 정적분의 방향, 기본 부정적분을 점검하는 구간입니다. 다만 쉬움으로 분류됐다고 검산을 생략해서는 안 됩니다. 몫의 미분에서 뺄셈 순서가 바뀌거나 적분 구간의 방향을 놓치면 계산 전체가 달라집니다.

중간에는 난이도가 섞입니다. 10·12·14번에서 막혀도 11·13·15번이나 16번으로 이어 갈 수 있습니다. 번호 순서대로 끝내겠다는 생각보다 풀이의 시작점이 보이는 문제부터 해결하는 편이 좋습니다.

19~24번은 자동 분류 기준으로 모두 어려움입니다. 이 구간은 속력 조건, 역함수 미분, 도형의 함수화, 대칭 적분, 전 구간 부등식과 교점 개수로 과제가 바뀝니다. 한 유형을 오래 계산하는 연습보다 서로 다른 조건을 빠르게 해석하는 연습이 필요합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용을 중심으로 미분과 적분 연결

도함수의활용은 접선 방정식 같은 기본형에서 절댓값 그래프와 최적화까지 폭이 넓습니다. 4·6번에서 접선의 기울기와 지나는 점을 연결했다면, 12번에서는 대칭성과 거리의 최솟값을 연결해야 합니다. 같은 단원 안에서도 계산 결과를 기하적으로 읽는 단계가 추가됩니다.

여러가지미분법은 공식의 종류를 구별하는 것만으로 충분하지 않습니다. 10번은 매개변수의 허용 범위, 20번은 역함수의 대응점, 21번은 도형에서 길이를 함수로 만드는 과정이 중요합니다. 미분하기 전에 식이 무엇을 뜻하는지 설명하는 연습을 해 보세요.

여러가지적분법에서는 적분을 시작하기 전의 정리가 눈에 띕니다. 8번은 절댓값에 따른 구간 분리, 11·15번은 정적분과 미분계수의 연결, 17번은 치환과 부분적분의 결합, 22번은 대칭 구간의 활용입니다. 무조건 원시함수부터 구하려는 습관을 고칠 필요가 있습니다.

문항별 정리

난이도 표시는 자동 분류 기준입니다. 각 문항은 계산을 시작하기 위한 핵심 개념과 조건 확인을 중심으로 정리했습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 중에서 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 공통점은 도함수 계산 뒤에 그래프를 해석하는 단계가 남는다는 것입니다. 도함수를 구하는 데 성공했더라도 최소화의 근거, 경계 포함 여부, 등호 성립을 따로 점검해야 합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본 계산을 정확히 처리하고, 중간에 막히는 문항은 표시해 두세요. 10·12·14번을 만났다고 이후 문제까지 모두 어렵다고 생각할 필요는 없습니다. 미분·적분의 구조가 바로 보이는 문항을 먼저 확보한 뒤 그래프를 그려야 하는 문항으로 돌아오는 전략을 권합니다.

후반의 그래프 문항에는 계산 전 정리 시간을 남겨 두세요. 23·24번은 긴 식을 바로 전개하기보다 구간과 그래프의 가지를 먼저 표시해야 합니다. 연습할 때는 각 문항에서 처음 막힌 이유가 공식 부족인지, 변수 설정인지, 경우 분류인지 기록하면 다음 풀이에서 줄일 시간을 찾을 수 있습니다.

검토할 때는 10번의 매개변수 범위, 14번의 절댓값 꺾임, 16번의 양 끝값, 19번의 동시 조건, 20번의 역함수 대응점, 22번의 치환 구간을 확인하세요. 문제마다 모든 계산을 다시 하기보다 풀이 방향을 바꾸는 조건부터 점검하는 편이 효율적입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 미분 공식부터 연결하세요. 몫·음함수·곱·합성함수 미분을 섞어 풀고 부호와 내부 미분을 확인합니다(1·2·9번 대비).
2. 접선과 증감의 기본형을 정리하세요. 접점과 외부의 점을 구별하고, 변곡점의 부호 변화와 닫힌구간의 끝값을 점검합니다(4·6·7·16번 대비).
3. 정적분을 미분계수로 읽는 연습을 하세요. 양 끝이 움직이는 적분을 원시함수의 차로 쓰고 변화율을 설명합니다(11·15번 대비).
4. 적분 전략을 고르는 훈련을 하세요. 절댓값의 구간 분리, 치환, 부분적분, 대칭 구간의 활용을 계산 전에 결정합니다(8·17·22번 대비).
5. 함수식 밖의 조건을 먼저 정리하세요. 매개변수의 범위, 역함수의 대응점, 도형의 각과 길이 관계를 그림과 표로 옮깁니다(10·19·20·21번 대비).
6. 그래프를 이용하는 최적화와 개수 문제를 마무리하세요. 거리의 하한, 절댓값 변환, 전 구간 부등식을 증감표와 경계 조건으로 설명합니다(12·14·23·24번 대비).