상문고등학교 2025년 1학년 1학기 중간고사 공통수학1 수학 기출문제 및 해설

상문고등학교 2025년 1학년 1학기 중간고사 공통수학1 시험 분석

📝 문항 목록

상문고등학교 2025년 1학년 1학기 중간고사 공통수학1 수학 기출 24문항의 문제입니다. 해설은 다운로드로 제공됩니다.

1. 1

   두 다항식 A = x³ + x² + x, B = -2x³ + 4x² + 1에 대하여 (3A + B) + (A - 2B)를 간단히 한 것은? ① 5x³ + 4x - 1 ② 5x³ + 4x + 1 ③ 6x³ + 4x - 1 ④ 6x³ + 4x + 1 ⑤ 6x³ + 5x - 1

2. 2

   실수 a, b에 대하여 (1 + 3i)(2 + 5i) = a + bi일 때, a + b의 값은? (단, i = √(-1)이다.) ① -2 ② -1 ③ 0 ④ 1 ⑤ 2

3. 3

   다항식 (2x - 3y)³의 전개식에서 x²y의 계수는? ① -36 ② -24 ③ -12 ④ 24 ⑤ 36

4. 4

   다항식 4x³ + 2x² + 1을 다항식 2x² + 1로 나누었을 때의 나머지는? ① -2x - 1 ② -2x ③ -2x + 1 ④ 2x ⑤ 2x + 1

5. 5

   이차방정식 x² - 4x + 9 - k = 0이 실근을 갖도록 하는 실수 k의 최솟값은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

6. 6

   등식 x² + 2x - 2 = a(x + 1)(x - 2) + bx(x + 1) + cx(x - 2)이 x에 대한 항등식일 때, 상수 a, b, c에 대하여 a + b + c의 값은? ① -1 ② 0 ③ 1 ④ 2 ⑤ 3

7. 7

   다항식 P(x) = x³ - 3x² + ax - 2가 x - 1로 나누어 떨어지도록 하는 상수 a의 값은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

8. 8

   다항식 x³ - 7x - 6의 인수가 아닌 것은? ① x + 1 ② x + 2 ③ x² + 3x + 2 ④ x - 3 ⑤ x² - x - 2

9. 9

   이차방정식 x² + 2x + 5 = 0의 두 근을 α, β라고 할 때, α³ + β³의 값은? ① 16 ② 18 ③ 20 ④ 22 ⑤ 24

10. 10

    이차함수 y = x² + ax - a - 1의 그래프는 a의 값에 관계없이 항상 점 P를 지난다. 이 이차함수의 그래프가 직선 y = 3x + b와 점 P에서 접할 때, a + b의 값은? (단, a, b는 실수이다.) ① -1 ② -2 ③ -3 ④ -4 ⑤ -5

11. 11

    자연수 n에 대하여 차수가 6인 다항식 (x³ - 4x + 1)ⁿ의 전개식에서 x²의 계수를 a, x³의 계수를 b라 하자. a - b의 값은? ① 0 ② 9 ③ 10 ④ 14 ⑤ 24

12. 12

    두 다항식 f(x), g(x)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) f(x) - 2g(x) = 4x² + 2x + 1 (나) {f(x)}² - 4{g(x)}² = 8x³ - 1다항식 f(2x - 1)g(-2x)를 2x + 1로 나눈 나머지는? ① -6 ② -4 ③ -2 ④ 2 ⑤ 4

13. 13

    이차방정식 x² + 6x - 11 = 0의 두 근을 α, β라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 이차식 f(x)에 대하여 f(2) = q/p이다. |p - q|의 값은? (단, p, q는 서로소인 자연수이다.) (가) f(α/5) = f(β/5) = 4 (나) f(1) = 26 ① 153 ② 154 ③ 155 ④ 156 ⑤ 157

14. 14

    임의의 실수 x에 대하여 등식 2x³ - 3x² - x + 3 = a(x - 2)³ + b(x - 2)² + c(x - 2) + d가 성립할 때, abcd의 값은? (단, a, b, c, d는 상수이다.) ① 400 ② 500 ③ 770 ④ 880 ⑤ 990

15. 15

    다항식 f(x)에 대하여 다항식 x⁴ + ax + b가 (x - 2)²f(x)로 인수분해될 때, f(1)의 값은? (단, a, b는 상수이다.) ① 13 ② 15 ③ 17 ④ 19 ⑤ 21

16. 16

    이차식 P(x)에 대하여 다항식 P(2x - 4)가 x - 2로 나누어떨어지고, 다항식 (x - 1)²P(x)를 x² - 4로 나누었을 때의 나머지가 7x - 4이다. P(x)를 x - 3으로 나누었을 때의 나머지는? ① 16 ② 18 ③ 20 ④ 22 ⑤ 24

17. 17

    자연수 n에 대하여 (n² - 2n)² - 16(n² - 2n) + 28가 소수인 자연수일 때, √(4n(4n + 1)(4n + 2)(4n + 3) + 1)의 값은? ① 149 ② 305 ③ 461 ④ 617 ⑤ 773

18. 18

    그림과 같이 길이가 2a(a > 1)인 선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 AB위의 두 점 C, D가 AC = CD = a + 1/a, BD = 2/a을 만족시킬 때, a⁶ + 1/(a⁶)의 값은? ① 34√5 ② 36√5 ③ 38√5 ④ 40√5 ⑤ 42√5

19. 19

    두 양수 a, k에 대하여 이차함수 y = (x - k)² - 3a의 그래프와 직선 y = a가 서로 다른 두 점 A, B에서 만난다. 점 A의 x좌표가 점 B의 x좌표보다 작을 때, 다음 조건을 만족시킨다. (가) OA = AB (나) 삼각형 OAB의 넓이는 16이다.

20. 20

    조립제법을 이용하여 (2x³ - 3x² - 4x + 3) ÷ IDE(2x + 1)의 몫과 나머지를 구하는 과정을 자세히 서술하시오. (조립제법을 사용하지 않으면 감점)

21. 21

    z = (-1 + √3i)/2일 때, 실수 a, b에 대하여 z + z² + z³ +... + z¹⁰⁰ = a + bi이다. a, b의 값을 구하는 과정을 자세히 서술하시오. (단, i = √(-1)이다.)

22. 22

    이차방정식 x² - 830x + (27000 + 64) = 0의 두 근을 α, β(α < β)라 할 때, β - 2α의 값을 구하는 과정을 자세히 서술하시오.

23. 23

    정수 a에 대하여 -5 ≤ x ≤ 1에서 이차함수 f(x) = 2x² + 8ax + 5a² + 4a - 1의 최솟값은 -5이고 최댓값은 M일 때, a × M의 값을 구하는 과정을 자세히 서술하시오. (단, a는 정수이다.)

24. 24

    이차함수 f(x)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 x에 대하여 f(x) ≥ f(3)이다. (나) 0 ≤ x ≤ 5에서 이차함수 f(x)의 최댓값은 10, 최솟값은 -8이다.함수 g(x)를 g(x) = {f(x), (x < 1 또는 x > 5) ; -f(x), (1 ≤ x ≤ 5)라 하자. 함수 y = g(x)의 그래프와 직선 y = 4x + k가 만나는 점의 개수가 3이 되도록 하는 모든 실수 k의 값의 합을 구하는 과정을 자세히 서술하시오.