상산고등학교
2025년 2학년 1학기 중간고사

상산고 2학년 1학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

상산고등학교는 전주시에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 범위는 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 극한의 기본 계산에서 사잇값 정리, 미분가능성, 접선과 평균값 정리까지 연결됩니다.

앞부분에는 인수분해를 이용한 극한과 접선의 기울기처럼 출발점이 분명한 문제가 있습니다. 이후에는 함수식이 직접 주어지지 않아도 항등식이나 극한 조건에서 필요한 정보를 얻어야 합니다. 식 전체를 구하려 하기 전에 목표가 함숫값인지 미분계수인지부터 구별하세요.

객관식과 서술·단답형이 연속된 두 묶음으로 나뉘지 않는 점도 눈여겨볼 만합니다. 문항마다 요구하는 형식을 확인하면서 풀이를 진행해야 합니다. 특히 구간 경계의 연속성, 제곱 뒤의 부호, 접점의 유효 범위처럼 계산 후에 확인할 조건을 처음부터 옆에 표시해 두세요.

난이도 분포 — 중반에 집중된 조건 해석

쉬움에 해당하는 1·2·4번은 극한의 약분, 미분계수의 기하적 의미, 사잇값 정리의 기본 적용을 확인합니다. 초반 보통 문항에서는 극한으로 계수를 결정하거나 미분가능성의 조건을 연결합니다. 공식 암기와 함께 공식을 적용할 수 있는 이유를 설명하는 연습이 필요합니다.

13~18번은 자동 분류 기준 모두 어려움입니다. 주기성과 좌우극한, 합성함수의 연속성, 평균값 정리, 교점 개수의 변화처럼 서로 다른 관점으로 조건을 읽어야 합니다. 이 구간을 같은 계산 방식으로 밀어붙이면 풀이가 길어질 수 있습니다.

19~22번은 보통으로 돌아옵니다. 중반에서 시간이 걸리더라도 뒤쪽의 유리화, 곱의 연속, 미분계수 정의, 접선 조건을 먼저 살피는 운영이 가능합니다. 난이도는 자동 분류 기준이므로 실제 체감과 같다고 단정할 수 없으며, 자신의 접근 속도를 연습 과정에서 확인하세요.

출제 단원 — 극한과 미분계수의 연결이 중심

함수의극한은 기본 유리식뿐 아니라 무리식, 도형에서 세운 식, 주기함수, 모든 점에서 극한이 존재하는 조건까지 폭이 넓습니다. 분모가 사라질 때 분자의 조건을 먼저 찾고, 그 조건만으로 충분한지 약분 뒤의 좌우극한까지 확인하는 습관이 중요합니다.

미분계수와도함수에서는 나머지 항등식을 미분하거나 함수의 관계식을 도함수 정의에 넣는 유형이 등장합니다. 극한식을 보았을 때 기준점의 함숫값을 빼고 더해 차분몫을 만드는 연습이 효과적입니다. 부호나 입력의 변화 때문에 미분계수에 붙는 계수를 빠뜨리지 않도록 하세요.

도함수의활용은 접선 계산에서 정리의 적용과 그래프의 구조 분석으로 확장됩니다. 함수의연속은 문항 수만 보고 가볍게 다루기 어렵습니다. 합성함수나 곱의 연속은 개별 함수의 성질을 그대로 옮겨 판단할 수 없으므로, 최종 함수의 극한을 직접 비교해야 합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표 순위가 아닌 조건 처리 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 경계와 예외를 먼저 정해야 계산의 의미가 분명해진다는 것입니다. 후보를 찾는 과정과 후보를 검증하는 과정을 나누어 풀이에 남기세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 극한과 미분 공식으로 시작할 수 있는 문제를 확보하세요. 13~18번에서 접근이 막히면 필요한 조건만 메모하고 19~22번을 확인하는 편이 좋습니다. 연습할 때는 식을 세우는 시간과 계산 시간을 나누어 기록하면 중반의 지연 원인을 찾기 쉽습니다.

서술·단답형에서는 계산의 출발 근거를 짧게 남기세요. 11번은 거리식에서 부호를 정하는 조건, 15번은 평균값 정리의 적용과 중간점의 이동, 17번은 각 경계에서 요구되는 조건이 중요합니다. 긴 전개를 반복하기보다 다음 단계로 넘어가는 이유가 드러나도록 정리하세요.

마지막 검토에서는 접근 방향과 허용 범위를 우선 살피세요. 8번의 자연수 조건, 13번의 좌우극한, 14번의 합성 순서, 18번의 유효한 접점 구간이 핵심입니다. 20번은 개별 함수가 아닌 곱 전체의 연속을, 22번은 접점과 기울기의 대응을 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 인수분해와 유리화로 극한의 기본 계산을 정리하세요. 분모가 사라지는 조건과 약분 후의 계산을 구별해 적으세요(1·3·8·19번 대비).
2. 연속과 미분가능성의 정의를 경계점에서 적용하세요. 함숫값·좌우극한·좌우 미분계수를 순서대로 확인하세요(4·5·20번 대비).
3. 미분계수 정의로 식을 바꾸는 연습을 하세요. 대칭 증분, 함수 관계식, 기준항의 덧셈과 뺄셈을 함께 다루세요(9·10·11·21번 대비).
4. 미분과 항등식을 연결하고 접선식을 직접 세우세요. 나머지의 차수와 접점의 변수를 먼저 정하세요(2·6·7·16·22번 대비).
5. 도형과 정리에서 극한식을 만드는 과정을 복습하세요. 반지름을 같은 변수로 나타내고 평균값 정리의 적용 조건을 설명하세요(12·15번 대비).
6. 주기함수·합성함수·구간별 함수는 경계별 표로 정리하세요. 접근 방향, 소멸 차수, 접점의 유효 범위를 비교하세요(13·14·17·18번 대비).